0 también atravesamos momentos emocionales 1 a < b < con sus propios límites. a = a ;..a >0 a < ;..0 ab Reconocer cuándo necesitamos una pausa o cuándo cuidarnos nos Racionalización ayuda a entendernos y a Caso 1: cuando el denominador de una fracción es un monomio, se multiplican los convivir mejor con los demás. términos de la fracción por el radical del mismo índice que el denominador, que al multiplicar dé como producto una cantidad racional. 3 3 2x 32x = ⋅ = 2x 2x 2x 2x Caso 2: cuando el denominador de una fracción es un binomio que contiene radica- les de segundo grado, se multiplican los términos de la fracción por la conjugada del denominador y se simplifica el resultado. ¿Sabes canalizar tus emociones? ⎛ ⎞⎛ ⎞ 4– 2 4– 2 2–5 2 18–22 2 11 2 –9 =⎜ ⎟⎜ ⎟= = 2 +5 2 ⎝ 2 +5 2 ⎠⎝ 2–5 2 ⎠ –46 23 24 Matemática 1.º BG 15/8/25 14:01 Matematica 1 BG Cultiva.indb 24 Matematica 1 BG Cultiva.indb 24 15/8/25 14:01]]> a. Se defi ne: + 5n 2 a – b 2 a + b c) = x = , y = . 3 mn a + b b – a En cada ítem se define w. Calculen, racionalicen y simpli quen, si es necesario. d) 3– 2 = a) w = x – y. + 1 2 6. Racionaliza los siguientes binomios. b) w = (x + y) . 2 52 –6 3 a) = 42 –3 3 c) w = x + y. + – ab b) ab – = ab – ++ ab 8. Indaguen, analicen y resuelvan. 3 c) = 1  1  2 5–2 Sean a∈, x =( ) 2 e y =  a 2  ¿es x = y? Justi - 2 , a quen su respuesta.   3– 2y x d) = 3x +3 2y Indaguemos 9. Indaga en internet la expresión asociada al perio- do de un péndulo y racionalízala. Matemática 27 1.º BG 15/8/25 14:01 Matematica 1 BG Cultiva.indb 27 Matematica 1 BG Cultiva.indb 27 15/8/25 14:01]]> a} –∞ a b ∞ Infi nito No incluye el extremo derecho y tiende a –∞ (–∞, a) o ]–∞, a[ {x / x < a} –∞ a b ∞ Infi nito Sí incluye el extremo izquierdo y tiende a +∞ [a, +∞) o [a, +∞[ {x / x ≥ a} –∞ a b ∞ Infi nito Sí incluye el extremo derecho y tiende a –∞ (–∞, a] o ]–∞, a] {x R / x ≤ a} –∞ a b ∞ 30 Matemática 1.º BG 15/8/25 14:01 Matematica 1 BG Cultiva.indb 30 15/8/25 14:01 Matematica 1 BG Cultiva.indb 30]]> 0, entonces ac < bc Si a < 0 y b > 0, entonces ab < 0 La diferencia A y B es el conjunto de todos los Si a < b y c < 0, entonces ac > bc Si a < 0 y b < 0, entonces ab > 0 elementos que pertenecen a A pero no a B. A cción y expresión Se representa con el símbolo: A\B o A - B Ejemplos paso a paso Complemento 1. Regresemos a nuestro problema inicial y respondamos las preguntas: de un intervalo Es el conjunto de todos Paso 1. Representamos los tiempos de entrega de cada equipo en forma de intervalo. los números reales Equipo A: [15, 30] Equipo B: [20, 40] que no pertenecen a ese intervalo, dentro del Paso 2. Hallamos el rango total de tiempo en el que los equipos A o B pueden entregar universo considerado. pedidos. Para eso calculamos la unión A ∪ B = [15, 30] ∪ [20, 40] La unión de dos o más intervalos es el conjunto de todos los elementos que pertenecen a Se representa como: A c uno o más de esos intervalos. Se representa con el símbolo de unión: ∪ Diferencia simétrica Equipo A Es el conjunto Equipo B de elementos que pertenecen a uno de los 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 conjuntos, pero no a Paso 3. Hallamos el rango de tiempo en el que los equipos A y B pueden realizar entregas. ambos al mismo tiempo. Para eso calculamos: A ∩ B = [15, 30] ∩ [20, 40] Se representa como: La intersección de dos o más intervalos es el conjunto de todos los elementos comunes A ∆ B = (A – B) ∪ (B – A) que pertenecen a los intervalos. Se representa con el símbolo de unión: ∩ Equipo A Equipo B 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 2. Empleemos las definiciones de diferencia y complemento para resolver estas operaciones con intervalos. a) A = [–4, 2[, B = ]–1, 3[ b) A = [–6, 2[ C A – B = [–4, –1] A = ]–∞, –6[∪[2, +∞[ i –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3. Hallemos la diferencia simétrica, dados los siguientes intervalos: A = [–2, 6[ y B = [–4, 3] Paso 1. Encontramos B A A – B = ]3, 6[ –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 7 Paso 2. Hallamos B B A B – A = [–4, –2[ –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 7 Paso 3. Realizamos la unión de las anteriores respuestas. A = [–2, 6[B = [–4, 3]; A ∆ B = (A – B) ∪ (B – A) –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 7 La diferencia simétrica es: [–4, –2[∪]3, 6[ Matemática 31 1.º BG 15/8/25 14:01 Matematica 1 BG Cultiva.indb 31 Matematica 1 BG Cultiva.indb 31 15/8/25 14:01]]> 0, si |x| = a, entonces x = a o x = – a ⇔ si solamente si Propiedades de las inecuaciones con valor absoluto pertenece a Sea x, a y a ≥ 0, se cumple que: Sea x, a y a ≥ 0, se cumple que: |x| ≤ a si y solo si –a ≤ x ≤ a ó x ≤ a y x ≥ –a |x| ≥ a si y solo si x ≤ –a ó x ≥ a Matemática Casos especiales de inecuaciones con valor absoluto Para comprender mejor Solución: el conjunto vacío Solución: Solución: un punto la resolución de las los números reales ecuaciones e inecuaciones, |2x + 7| ≤ –5 2 – |x – 8| < 4 es preciso recordar las – |x – 8| < 4 – 2 |x – 6| ≤ 0 propiedades de orden de |x – 8| > – 2 los números reales, los intervalos y las En toda inecuación con valor Por definición de valor propiedades del valor absoluto: absoluto |x – 8| ≥ 0, Por definición de valor absoluto |x – 6| ≥ 0, es decir, es cero o una absoluto. |x| ≤ a o |x| ≥ a, siempre a ≥ 0, por lo tanto mayor cantidad positiva. Escribe en el cuaderno es decir, a siempre es positivo. que –2. un ejemplo de ecuación En este caso la inecuación no La solución en este El único valor que satisface la y otro de inecuación se cumple para ningún valor caso son todos los inecuación es cuando |x – 6| = 0, de primer grado. Luego, de x. números reales . esto sucede cuando x = 6 identifica sus elementos Solución: el conjunto vacío Ø. La solución en este caso es un y resuélvelas. punto x = 6. 36 Matemática 1.º BG 15/8/25 14:01 Matematica 1 BG Cultiva.indb 36 15/8/25 14:01 Matematica 1 BG Cultiva.indb 36]]>, ≥ y ≤ gráfi camente. –3 + 20 ≤ x ≤ 3 + 20 se denominan signos de la desigualdad. 17 ≤ x ≤ 23 Ley de tricotomía 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 x Sean a, b , se cumple solo una de las siguientes Paso 5. Respondemos la pregunta: relaciones: La temperatura segura debe mantenerse entre 17 °C y 23 °C. a > b o a = b o a < b 2. Resolvamos las siguientes ecuaciones con valor absoluto. Comprueba la ley de tricotomía con un par |5x + 2| = 7 |x + 7| = |x – 3| de números. Aplicamos la propiedad Aplicamos la propiedad 5x + 2 = 7 ó 5x + 2 = –7 x + 7 = x – 3 ó x + 7 = –(x – 3) 5x = 7 – 2 ó 5x = –7 – 2 x – x = –3 – 7 ó x + 7 = –x + 3 Seguridad vial 5x = 5 ó 5x = –9 0 ≠ –10 ó x + x = 3 – 7 2x = –4 Las inecuaciones se aplican 5 x = 1 ó x =− x = –2 en la vida cotidiana; por 9 ejemplo, al ir de compras, El conjunto solución La primera ecuación no tiene solución, controlar la velocidad de  5 la única solución de la ecuación es: {–2} un auto o, simplemente, de la ecuación es: 1, −  en la relación de nuestro   9  peso con nuestra altura. 3. Empleemos la respectiva propiedad y resolvamos la inecuación. |4x – 5| < 3 Utilizamos la primera propiedad. ©Shutterstock –3 < 4x – 5 < 3 Resolvemos la inecuación lineal. –3 + 5 < 4x < 3 + 5 2 < 4x < 8 1/2 < x < 2 ¿Cuál es la diferencia entre Solución en forma de intervalo: (1/2, 2) inecuaciones y ecuaciones? Gráficamente –∞ –3 –2 –1 0 1 1 2 3 ∞ 2 4. Resolvamos la siguiente inecuación con valor absoluto. |x – 1| ≥ 2 Utilizamos la segunda propiedad. x – 1 ≤ –2 ó x – 1 ≥ 2 x ≤ – 2 + 1 ó x ≥ 2 + 1 x ≤ –1 ó x ≥ 3 Solución en forma de intervalo: (–∞, –1] U [3, +∞) Gráficamente –∞ –3 –2 –1 0 1 2 3 ∞ Matemática 37 1.º BG 15/8/25 14:01 Matematica 1 BG Cultiva.indb 37 15/8/25 14:01 Matematica 1 BG Cultiva.indb 37]]>3 a) 7– 42– x = –1 b) 2–18x =0 b) x <1 c) x +12 0 = c) x ≥0,1 d) 4–12 –240x = d) x ≤ 0,2 3 e) x –13–20 = x e) >10 2. Encuentra la solución de las siguientes ecuaciones. 7 a) x +13 26,.x ∈ [ ∞0, [ = f) 2x <5 3 7 b) 2x +=5,.x ∈ ] ∞–,0 ] c) 13x +17 =11,.x ∈ [–2,2 ] g) |2x – 3|<5 38 Matemática 1.º BG 15/8/25 14:01 Matematica 1 BG Cultiva.indb 38 15/8/25 14:01 Matematica 1 BG Cultiva.indb 38]]> 1 + 2x inecuaciones. a) x +>36 c) 5x + 3 ≤ |x – 1| b) 5–12x < 4 d) 5|x| < 1 + 4x 2x c) 5 –4 ≥ 6 6. Resuelve las siguientes inecuaciones. x x +7 3–7 a) – ≥3 2 4 x +3 4–1 x d) – ≤2 3 7 x b) x –2 <+ 4 Necesidades educativas La discapacidad intelectual no es sinónimo 25 de incapacidad. Cada compañero puede realizar c) x +≥ actividades a su medida. ¡Inclúyelos! Actividad cooperativa 5. Trabajen en equipo y resuelvan las siguientes inecuaciones. a) x + 8 > |x| Indaguemos 7. Indaguen en varias fuentes sobre cómo las ecua- ciones e inecuaciones se aplican en la economía y producción. Escriban dos ejemplos, luego com- paren sus anotaciones con sus compañeros. Matemática 39 1.º BG 15/8/25 14:01 Matematica 1 BG Cultiva.indb 39 Matematica 1 BG Cultiva.indb 39 15/8/25 14:01]]> – 4 ¿Qué datos observas en la situación planteada? _____________________________________________________ _____________________________________________________ Pienso 2x − 3 4 ¿Qué expresión modela esta situación? c) ≤ 5 5 _____________________________________________________ _____________________________________________________ Me pregunto 3x + 1 5 d) > ¿Qué pasa si la temperatura está fuera del intervalo 4 2 solución? _____________________________________________________ _____________________________________________________ Metacognición para aprender Responde en forma oral o escrita. ¿Qué métodos puedo utilizar para resolver productos notables, factorización y división de polinomios? ¿Qué hago cuando encuentro dificultades durante la resolución del ejercicio con racionalización? ¿Qué estrategias utilizo para aplicar las propiedades de orden de los números reales? ¿Cómo aplico los conocimientos sobre ecuaciones e inecuaciones con valor absoluto en situaciones cotidianas? Matemática 43 1.º BG 15/8/25 14:01 Matematica 1 BG Cultiva.indb 43 15/8/25 14:01 Matematica 1 BG Cultiva.indb 43]]>