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<Search><pages Count="30"><page Index="1"><![CDATA[2



                                                                                                                            BG

                          Comunicacional                                         Socioemocional
                                                                                                                                                                                                                                          2      BG
                                             Digital                 Matemática












                                                    COMPETENCIAS





                                                     INSERCIONES
                                                    CURRICULARES

                                                                                                                             Matemática











                                          Educación                    Cívica, Ética                                                                                                                                                             Matemática
                                        Socioemocional                 e Integridad

                            Desarrollo                 Seguridad Vial                Educación
                            Sostenible                  y Movilidad                  Financiera
                                                         Sostenible

























                   Contacto: 098 747 9990
               Correo: distribuidora_ra@hotmail.com
                Guayaquil: CC Albán Borja, Local 88]]></page><page Index="2"><![CDATA[UNIDAD
                       TEMÁTICA
                         2                Funciones racionales






                                                                                               Álgebra y funciones
                      La ley de atracción universal
                      La ley de atracción universal, propuesta por Isaac Newton, establece que todos los cuerpos con masa
                      se atraen entre sí con una fuerza directamente proporcional al producto de sus masas, e inversamente
                      proporcional al cuadrado de la distancia que los separa. Esta relación se expresa mediante la fórmula:
                                                                  mm
                                                                    ⋅
                                                             FG    1   2
                                                               =
                                                                    r 2
                      Esta función muestra cómo la fuerza disminuye a medida que aumenta la distancia entre las masas.
                      Este tipo de función es útil para representar relaciones en las que una variable depende inversamente
                      de otra. En este caso, esta función permite modelar con precisión el comportamiento de la gravedad.
                      Así, se combina el lenguaje matemático con fenómenos del mundo real.






















































                 ©Shutterstock



               38
               38    Mat emátic a
                     Matemática
                     2.º BG
                     2.º BG


                                                                                                                     30/7/25   10:04
         Matematica 2 BG Cultiva.indb   38                                                                           30/7/25   10:04
         Matematica 2 BG Cultiva.indb   38]]></page><page Index="3"><![CDATA[ecuer
                                                                                             da
                                                                           bser
                                                                         O Observa y recuerda
                                                                                  a y r
                                                                                v
                                                                         •   ¿Qué observas en la imagen?
                                                                         •   ¿Por qué crees que la fuerza gravitacional
                                                                              es inversamente proporcional a la distancia?
                                                                         •   ¿Qué otros fenómenos o situaciones tienen
                                                                             una relación inversamente proporcional?

                                                                         ¿Q ué apr  ender
                                                                           Observa y recuerdaemos?



                                                                                            Funciones
                                                                                            racionales






                                                                              Análisis de la            Operaciones con
                                                                             función racional         funciones racionales




                                                                                                    ·  Adición
                                                                              ·  Definición           y sustracción
                                                                                dominio, rango      ·  Multiplicación
                                                                              ·  Ceros, paridad,      y división
                                                                                monotonía           ·  Fracciones
                                                                                                      complejas





                                                                             Asíntotas de la
                                                                             función racional         Fracciones parciales




                                                                                                  ·  Factores lineales
                                                                              ·  Cálculo            que no se repiten
                                                                                de asíntotas
                                                                                verticales        ·  Factores lineales
                                                                                                    que se repiten
                                                                              ·  Asíntotas
                                                                                horizontales      ·  Factores cuadráticos
                                                                                                    que no se repiten
                                                                              ·  Asíntotas
                                                                                oblicuas          ·  Factor cuadrático
                                                                                                    y factor lineal



                                                                         Las funciones matemáticas ayudan a modelar
                                                                         fenómenos del universo, como el movimiento
                                                                         de los planetas o la expansión del cosmos.





                                                                                                      Matemática   39
                                                                                                           2.º BG





                                                                                                                     30/7/25   10:04
         Matematica 2 BG Cultiva.indb   39
         Matematica 2 BG Cultiva.indb   39                                                                           30/7/25   10:04]]></page><page Index="4"><![CDATA[1                      Análisis de la función racional









                                         D  isposición y compromiso
                    Saberes previos      La concentración de un medicamento en el cuerpo varía con el tiempo, disminu-
                                         yendo después de administrarse debido al metabolismo y eliminación. Comprender
                      ¿Existe la división
                            para cero?   esta variación es esencial para definir la dosis y frecuencia adecuadas. En algunos
                                         casos, esta concentración puede representarse con una función racional. Un ejemplo
                                         de este modelo es:
                                                                               50
                                                                         Ct() =
                                                                               t +2

                                         En donde: C(t) es la concentración del medicamento en sangre (mg/L), t es el tiempo
               ©Shutterstock             en horas desde que se administró el medicamento.


                                         a)  ¿Cuál es la concentración del medicamento dos horas después de la toma?
                                         b)  ¿Después de cuántas horas la concentración será de 10 mg/L?

               Es muy importante la      c)  ¿Qué ocurre con la concentración a medida que pasa mucho tiempo?
               matemática para saber cada
               cuánto tomar una dosis de un
               medicamento.               Pienso y progreso
                                          ¿Por qué crees que es correcto tomar la dosis exacta de un medicamento?



                                         U  nidad de conocimientos
                                         Función racional

                                         Sean dos funciones polinomiales p(x) y q(x), una función racional se define como
                                         el cociente de estos dos polinomios.
                                                                        px()
                                                                             qx) ≠ 0
                                                                   fx() =   ;(      x , ∈
                                                                        qx()
                                         Dominio de la función racional
                        Socioemocional
                                         Por definición, el dominio está formado por todos los valores de x para los cuales una

               La base para tener buenas   función está definida; en el caso de la función racional, el denominador no puede
               relaciones interpersonales   ser igual a cero; entonces, su dominio es el conjunto formado por todos los números
                   está en reconocer las   reales que no son raíces del polinomio q(x).
                emociones de los demás,                            Dom(f) = {x ∈ ℝq(x) ≠ 0}
                   así como en conocer
                y manejar tus emociones.  Rango de la función racional
                      ¿Qué te emociona
                   cuando estás en clase?  El rango de una función es el conjunto de valores que puede tomar la variable y. Para
                                         determinar el rango de una función racional, se despeja la variable x de la función
                                         en términos de y; luego se procede igual que el dominio.

                                         Ceros de la función racional

                                         Los ceros de una función racional son los valores de x que hacen que el numerador
                                         de la función sea cero, sin anular el denominador; y constituyen los puntos donde la
                                         gráfica de la función corta o toca el eje x.


               40    Matemática
                     2.º BG





                                                                                                                     30/7/25   10:04
         Matematica 2 BG Cultiva.indb   40
         Matematica 2 BG Cultiva.indb   40                                                                           30/7/25   10:04]]></page><page Index="5"><![CDATA[A  cción y expresión                                                                Desarrollo
                                                                                                      sostenible
                  Ejemplos paso a paso
                                                                                       50        Algunas farmacéuticas
                  1.  Para la función de concentración de un medicamento en el cuerpo  Ct() =   ,   están desarrollando
                      respondamos las preguntas planteadas inicialmente.               t +2      métodos de producción
                                                                                                 ’verdes’ que reducen el
                      a)  ¿Cuál es la concentración del medicamento dos horas después de la admi-  uso de solventes tóxicos
                         nistración?                                                             y mejoran el reciclaje de

                   Paso 1. Hacemos en la función dada C(2)                                       materiales.
                                                                                                 Investiga acerca de los
                                                      50
                                                  2
                                                C() =    = 12 ,5                                 residuos tóxicos y dialoga
                                                     22                                          con tus compañeros.
                                                      +
                   Paso 2. Respondemos las preguntas. Luego de dos horas, la concentración del medicamento
                   en el cuerpo es de 12,5 mg/L.                                                                        ©Shutterstock
                      b)  ¿Después de cuántas horas la concentración será de 10 mg/L?

                                                                                    50
                   Paso único. Reemplazamos el valor de la concentración en la función dada 10 =
                                                                                   t  + 2
                                                              50
                   Despejamos la variable t y resolvemos la ecuación t =  −2;  t = 3
                                                              10
                   La concentración será de 10 mg/L luego de tres horas de suministrado el medicamento

                      c)  ¿Qué ocurre con la concentración a medida que pasa mucho tiempo?
                   Paso único. Reemplazamos el valor de t por valores diferentes:

                           50                       50
                       5
                                                0
                                               1
                     C() =    =  , 714                        C( ) =  =  , 417
                          52                       10 2
                            +
                                                     +
                   Entonces, a mayor tiempo, la concentración del medicamento es más pequeña.
                                                                       x −1
                  2.  Usa Geogebra o Desmos para graficar la función fx() =   determina                   y
                                                                       2
                                                                      x − 4                               8
                                                                                                          6
                                                                                                                 x – 1
                      el dominio, el recorrido, la monotonía y los ceros de la función.                   4   f(x) =   x 2  – 4
                                                                                                       x = –2  2
                                                                                                –14  –12  –10  –8  –6  –4  –2 0  2  4  6  8  10 12 14  x
                   Paso 1.                       Paso 2. Determinamos    Paso 3. Identificamos el         –2  x = 2
                                                                                                          –4
                                                 la monotonía.        corte de la función con el          –6
                   El dominio y recorrido de la función               eje x.                              –8
                   es:                           La función es decreciente
                   Dom(f ) = (–∞, –2) ∪ (–2, 2) ∪ (2, ∞)  en los intervalos    x = 1, y = 0 P(1, 0)
                   Rec(f ) = (–∞, ∞)             (–∞, –2) ∪ (–2, 2) ∪ (2, ∞)
                                                                              x 3
                  3.  Halla el dominio, el recorrido y los ceros de la función  gx() =  , luego traza
                      la función en Desmos y comprueba los resultados.      x −5
                                                                                                         y
                   Paso 1. Determinamos el dominio     Paso 2. Determinamos el recorrido;               20
                   igualando a cero el denominador de la   igualamos a y la función y despejamos la     15
                   función, determinamos los valores que x   variable x.                                10       y =   3x
                   no puede tomar.                          x 3                          y 5        y = 3  5         x – 5
                                                                                                       �
                                                                                              cf ={
                                                                                   ;
                                                                        xxy −3
                                                       y =    ; ( x −5) y = 3 ;  x = 5 yx =      Re ()  y∈ |  y ≠ } 3
                   x – 5 = 0; x = 5.                      x −5                         y −3      –15  –10 –5 0  5  10 15  x
                       x 3
                   Luego, Dom(f) = {x ∈ ℝ x ≠ 5}  y 5                                                        x = 5
                                                                 �
                                                         cf ={
                                  xxy −3
                  y =    ; ( x −5) y = 3 ;  x = 5 yx =;      Re ()  y∈ |  y ≠ } 3
                     x −5                         y −3                                                 –10
                   Paso 3. Igualamos a cero el numerador de la función y hallamos los ceros.
                   3x = 0; x = 0: P(0, 0)
                                                                                                      Matemática   41
                                                                                                           2.º BG

                                                                                                                     30/7/25   10:05
         Matematica 2 BG Cultiva.indb   41                                                                           30/7/25   10:05
         Matematica 2 BG Cultiva.indb   41]]></page><page Index="6"><![CDATA[DUA
               Evaluación formativa                                                          Acción y expresión




               1.  Responde con verdadero (V) o falso (F) a las si-  3.  En cada función, señala el valor que se debe excluir
                   guientes afirmaciones, según corresponda.          de su dominio.
                                                                                4
                   a)   Una función racional se define como el        A)   fx() =
                      cociente de dos funciones polinomiales.                  x −2
                                                                      a)  x = –2        b)   x = 2
                   b)   El  dominio  de  una  función  racional
                      excluye los valores de x que anulan el          c)  x = 0         d)   Ninguno
                      denominador.
                   c)   El rango de una función racional es igual              x −3
                      a su dominio.                                   B)   fx() =  x 2
                   d)   Los ceros de una función racional son         a)  x = 3         b)   x = –2
                      los valores de x que hacen cero el deno-
                      minador.                                        c)  x = 0         d)   Ninguno

                   e)   Los ceros de la función racional corres-
                      ponden  a los puntos donde  la gráfica                    x − 4
                      toca o cruza el eje x.                          C)    fx() =  3 x +1

               2.  Escribe cuál de las siguientes funciones es una fun-  a)  x = –1/3    b)   x = –1
                   ción racional.
                                                                      c)  x = 4         d)   Ninguno
                   a)   fx() =  x +  2  1
                                                                                   1
                      _____________________________________________             x +1
                                                                      D)    fx() =
                                                                                 2
                                                                                x + 1
                            x −1
                   b)   fx () =                                       a)  x = –1        b)   x = 1
                            x +1
                                                                      c)  x = 0         d)   Ninguno
                      _____________________________________________
                                                                   4.  Determina el dominio y el recorrido de las siguien-
                            x +3
                   c)   fx() =                                        tes funciones.
                             5
                                                                                3
                      _____________________________________________   a)   fx() =
                                                                               x −2

                             7
                   d)   fx() =
                            x −1
                      _____________________________________________

                                2
                           2
                   e)   fx() = 2x +                                   b)   fx() =  x 2
                                3                                              x +1
                      _____________________________________________

                           (x – 3)
                   f)   fx() =
                           (x – 2)
                      _____________________________________________


               42    Matemática
                     2.º BG





                                                                                                                     30/7/25   10:05
         Matematica 2 BG Cultiva.indb   42                                                                           30/7/25   10:05
         Matematica 2 BG Cultiva.indb   42]]></page><page Index="7"><![CDATA[x  + 4                                a)  Dominio de f (x) _____________________________________
                      c)   ()fx  =
                               x  − 4
                                                                     b)  Recorrido de f (x) ____________________________________

                                                                     c)  Monotonía de f (x) ___________________________________
                                                                         _______________________________________________________

                                                                     d)  Ceros de f (x) ________________________________________
                              2x  −1
                            )
                      d)   (fx) =
                               x  +2                                   Necesidades educativas
                                                                         Cuando hay dificultades de atención, es necesario
                                                                         generar una gran cantidad de ideas sobre un tema
                                                                         específico.



                                                                        Actividad cooperativa
                  5.  Halla los ceros de las siguientes funciones.
                                                                     En parejas resuelvan el siguiente ejercicio:
                                 5                                   7.  Una empresa fabrica zapatos. Los costos fijos (alqui-
                      a)  fx () =
                                x −3                                     ler, maquinaria, etc.) son de 2 000 dólares al mes.
                                                                         El costo variable por cada par de zapatos es de
                                                                         10 dólares (materiales, mano de obra, etc.).
                                                                         Sea x el número de pares de zapatos que se produ-
                                                                         cen en un mes.
                                                                     a)   Escriban la función del costo total de producir x
                                3 x −6
                      b)  fx () =                                        pares de zapatos al mes, CT(x).
                                  2
                               2 x − 4


                                                                     b)   Planteen la función racional del costo promedio
                                                                         por cada par de zapatos, C(x).

                  6.  Para la siguiente función con su gráfica, determina
                      lo que se solicita en cada literal.
                                                                     c)   Hallen el costo promedio para producir 100 pares
                              x 2
                      fx () =                                            de zapatos al mes.
                             2
                            x −1

                                         y
                                                                     d)   Respondan y debatan ¿Qué sucede con el costo
                                                       x 2
                                         5     fx () =                   promedio cuando se producen más pares de zapa-
                                                      2
                                                     x −1                tos? ¿Tiene sentido producir pocas unidades?


                                    x = –1  x = 1
                               –5      –1  0  1    5         x
                                                                       Indaguemos
                                                                     8.  Investiga en qué consiste la ley de gravitación uni-
                                        –5
                                                                         versal. ¿Qué magnitudes intervienen en esta ley?
                                                                         ¿Cómo se relacionan?



                                                                                                      Matemática   43
                                                                                                           2.º BG





                                                                                                                     30/7/25   10:05
         Matematica 2 BG Cultiva.indb   43                                                                           30/7/25   10:05
         Matematica 2 BG Cultiva.indb   43]]></page><page Index="8"><![CDATA[2                      Asíntotas de la función racional









                                         D  isposición y compromiso
                    Saberes previos      La velocidad es una magnitud que relaciona la distancia que recorre un móvil y el
                                         tiempo que demora en hacerlo. Por ejemplo, si caminas una distancia de 100 m en
                    ¿Cuál es el límite de
               velocidad de los vehículos   20 segundos, tu velocidad promedio será:
                   en las zonas urbanas?                             distancia 100   m  m
                                                                 v =         =       =  5
                                                                     tiempo     20 s     s

                                         Imagina que un ciclista debe recorrer una distancia de 60 km. Su velocidad promedio
                                         en función del tiempo que tarda se expresa con la función:
               ©Shutterstock                                              vt() =  60

                                                                                t

                                         a)  Grafica la función.
                                         b)   ¿Qué sucede con la velocidad promedio cuando el tiempo aumenta?

               El concepto de velocidad es   c)  ¿Qué ocurre con la velocidad si el tiempo se acerca a cero?
               muy útil porque entre otras
               cosas nos permite saber   d)  ¿Existe algún valor de t que no esté permitido en esta función? ¿Por qué?
               cuánto tiempo tardaremos en
               llegar a un lugar.
                                          Pienso y progreso
                                          Averigua a qué velocidad se mueve nuestro planeta.

                         Matemática
                                         U  nidad de conocimientos
                      Existen diferentes
                  unidades para medir la   Asíntotas en las funciones racionales
                   velocidad, porque en   Una asíntota es una recta a la que una curva se aproxima cada vez más sin llegar
                       distintos lugares
                    y contextos se usan   a tocarla. Puede ser vertical, horizontal u oblicua, y se presenta cuando al menos una
                    sistemas de medida   coordenada del punto en la función tiende al infinito y su distancia a la recta tiende
                            diferentes.   a cero.
                 En el sistema métrico se
                usan kilómetros por hora   Asíntotas verticales
                    (km/h) o metros por   Son rectas perpendiculares al eje x, de ecuación x = a, con a constante, que aparecen
                   segundo (m/s); en el   en los valores de x donde la función no está definida.
                  sistema inglés se usan
                 millas por hora (mi/h) o   Asíntotas horizontales
                 pies por segundo (ft/s).
                                         Son rectas perpendiculares al eje y, de ecuación y = b, con b constante, que indican
                                         el valor al que la función se aproxima cuando x tiende a infinito o menos infinito.

               ©Shutterstock             Asíntotas oblicuas

                                         Son rectas inclinadas que la función sigue cuando x tiende a infinito, pero no son
                                         ni horizontales ni verticales a los ejes. Su ecuación es de la forma y = mx + b, donde
                                         m es la pendiente y b la ordenada al origen de la recta.

                    Transforma 50 km/h
                            a millas/h.


               44    Matemática
                     2.º BG





                                                                                                                     30/7/25   10:05
         Matematica 2 BG Cultiva.indb   44                                                                           30/7/25   10:05
         Matematica 2 BG Cultiva.indb   44]]></page><page Index="9"><![CDATA[A  cción y expresión                                                                   40 y

                  Ejemplos paso a paso
                                                                                                         20
                  1.   Respondamos las preguntas al problema inicial.                                        60
                                                                                                           vt() =
                                                                                                             t
                                                                                               –10        0         10  x
                                                           60
                   Paso 1. Grafiquemos en Desmos la función vt() =  .
                                                            t                                            –20
                                                           t(h)      2   4  10  20
                   Asignemos valores de t para obtener valores de v:
                                                           v (km/h)  30  15  6   3                       –40
                   Paso 2. ¿Qué sucede con la velocidad promedio cuando el tiempo aumenta?              Matemática
                   Observemos los valores de la tabla y el gráfico de la función.
                                                                                                 Sea la función racional
                   Cuando t aumenta, la velocidad disminuye.                                          Px()
                                                                                                 fx () =
                   Paso 3. ¿Qué ocurre con la velocidad si el tiempo se acerca a cero?                Qx ()
                   ·  Analicemos la gráfica de la función y tomemos valores de t cercanos a cero.  Para encontrar una asíntota
                                                                                                  vertical se hace Q(x) = 0,
                   ·  Miremos qué sucede con los valores de v en la curva y respondamos.         los valores de x que
                   ·  Para valores de t cercanos a cero, la velocidad aumenta considerablemente.  anulan el denominador
                                                                                                 constituyen las asíntotas.
                   Paso 4. ¿Existe algún valor de t que no esté permitido en esta función? ¿Por qué?
                                                                                                 Para determinar las
                   ·  Analizamos la función racional y excluimos el valor de t para el que no existe la función.  asíntotas horizontales,
                                                                                                 sean n el grado del
                   ·  Respondemos la pregunta.
                                                                                                 numerador y m el grado
                   ·  La variable t no puede tomar el valor de cero porque para este valor, la función no está   del denominador.
                    definida.                                                                    Si n < m, la asíntota
                   ·  Por otro lado, tampoco puede tomar un valor negativo, puesto que el tiempo siempre es   horizontal es y = 0.
                    positivo.                                                                    Si n = m, la asíntota
                                                                                                 es y = a/b.
                  2.  Determina las asíntotas para las siguientes funciones:                     Donde a es el coeficiente
                                                                                                 de mayor grado del
                               2 x +1
                      a)  fx() =                                                                 numerador, y b el del
                                x −3                                                             denominador.
                   Paso 1. Igualamos el denominador a cero y determinamos la asíntota vertical. x – 3 = 0; x = 3  Si n = m + 1, existe una
                                                                                                 asíntota oblicua que se
                   Paso 2. Comparamos los grados del numerador (n) y del denominador (m)
                                                                                                 obtiene del cociente (sin
                   n = m, entonces tiene una asíntota horizontal.                                el residuo) de la división
                                                                                                 de P(x) ÷Q(x)
                   Paso 3. Verificamos los coeficientes de mayor grado del numerador y denominador a y b y
                   escribimos la ecuación de la asíntota horizontal. y = 2/1; y = 2
                                                                                                         y
                                2
                               x +3
                      b)    fx() =                                                                           x = 3  fx () =  2 x +1
                                x −1                                                                     5         x −3
                                                                                                    y = 2
                   Paso 1. Igualamos el denominador a cero y determinamos la asíntota vertical. x – 1 = 0; x = 1
                                                                                                    –5   0     5    10  x
                   Paso 2. Comparamos los grados del numerador (n) y del denominador (m); n = m +1,
                   tiene una asíntota oblicua.                                                           –5
                   Paso 3. Dividimos el numerador para el denominador y obtenemos la ecuación de la      10 y
                   asíntota oblicua.                                                                    –10
                                                                                                             y = x + 1
                    2
                   x + 3   =+    4  ; la ecuación de la asíntota es y = x + 1.                      –10  0     10    x
                          x 1+
                    x 1         x 1
                                 −
                      −
                                                                                                              2
                                                                                                              x +3
                                                                                                            fx () =
                                                                                                        –10   x −1
                                                                                                      Matemática   45
                                                                                                           2.º BG


                                                                                                                     30/7/25   10:05
         Matematica 2 BG Cultiva.indb   45
         Matematica 2 BG Cultiva.indb   45                                                                           30/7/25   10:05]]></page><page Index="10"><![CDATA[DUA
               Evaluación formativa                                                          Acción y expresión




               1.  Responde con verdadero (V) o falso (F) a las       C.  ¿Cuál de las siguientes es la ecuación de una
                   siguientes afirmaciones, según corresponda.           asíntota oblicua?

                   a)   Toda función racional tiene una asíntota
                      horizontal.                                        a)  2x = 3                     5
                                                                                                 d)  y =
                   b)   Una asíntota oblicua puede  coexistir            b)  x =  3                     2
                      con una asíntota horizontal.                               4

                   c)   Si el numerador y el denominador se              c)  y = x               e)  y = 1
                      anulan en el mismo punto, siempre hay
                      una asíntota vertical.                       3.  Sea:  () =fx  2
                   d)   La división de polinomios permite en-                   x –4
                      contrar la asíntota oblicua.
                                                                      a)  Halla el Dom(f ).
                   e)   Una asíntota horizontal aparece cuando
                      el grado del denominador es mayor o
                      igual al del numerador en una función
                      racional.
                                                                      b)  Halla las asíntotas.
                   f)   Toda función racional tiene al menos
                      una asíntota vertical.

               2.  Señala la respuesta correcta para cada ítem.

                   A.  ¿En qué caso una función racional tiene una    c)  Para x < 4 calcula los valores de f (x) que se
                      asíntota oblicua?
                                                                         plantean a continuación.
                      a)  Cuando el grado del numerador es igual al
                         del denominador.                                 f (3), f (2), f (– 2), f (– 4)

                      b) Cuando el grado del numerador es menor
                         que el del denominador.

                      c)  Cuando el grado del numerador es mayor en
                         uno al del denominador.                      d)  Con los datos obtenidos en los incisos anterio-
                                                                         res, grafica la función.
                      d) Cuando el numerador y el denominador no
                         tienen raíces reales.                                     y
                                                                                  4
                      e) Cuando el denominador tiene raíces reales.
                                                                                  3
                                             1                                    2
                   B.  La función racional  fx() =
                                             x                                    1
                      a)  tiene una asíntota vertical en  x = 0 y una
                         asíntota horizontal en y = 0.

                      b) no tiene asíntotas.                            –3  –2  –1  0    1  2  3  4  5  6  7  8  x
                      c)  tiene una asíntota horizontal en x = 0 y una            –1
                         asíntota vertical en y = 0                               –2
                                                                                  –3
                      d) solo tiene una asíntota vertical.
                                                                                  –4
                      e) tiene una asíntota oblicua.




               46    Matemática
                     2.º BG





                                                                                                                     30/7/25   10:05
         Matematica 2 BG Cultiva.indb   46                                                                           30/7/25   10:05
         Matematica 2 BG Cultiva.indb   46]]></page><page Index="11"><![CDATA[6                                  Necesidades educativas
                          fx
                  4.  Sea:  () =          .
                                 x
                                    )( +1
                                ( –1 x   )
                                                                         Es importante saber cuándo hablar, cuándo escuchar
                      a)  Halla el Dom(f ).                              y cuándo callar. ¿Alguna vez te has arrepentido de haber
                                                                         callado o hablado cuando sabías que debías hacerlo?

                                                                        Actividad cooperativa
                      b)  Halla las asíntotas.                       En parejas resuelvan el siguiente ejercicio:

                                                                                    2
                                                                     5.  Sea fx () =  x −2
                                                                                     x
                                                                         a)  Hallen el Dom(f ).


                      c)  Para x < –1 calcula los valores de f (x) que se
                         plantean a continuación.
                         f (–2), f (–3), f (–4)
                                                                         b)  Hallen las asíntotas.






                      d)  Para –1 < x < 1 calcula los valores de f (x) que se   c)  Para x < 0 calculen los valores de f (x) que se
                         plantean a continuación.                           plantean a continuación.
                         f (–0,5), f (0), f (0,5)                           f (–1), f (–3), f (–5)






                      e)  Con los datos obtenidos en los incisos anterio-
                         res, grafica la función.                        d)  Para x > 0 calculen los valores de f (x) que se
                                                                            plantean a continuación.
                                           y
                                          4                                 f (1), f (3), f (5)


                                          2



                          –6    –4    –2   0     2     4     6  x
                                                                         e)  Con los datos obtenidos en los incisos anterio-
                                          –2                                res, grafiquen en su cuaderno la función.

                                          –4
                                                                       Indaguemos
                                          –6
                                                                     6.  Investiga sobre la hipérbola, su ecuación y gráfica.
                                                                         ¿Cuántas y qué tipo de asíntotas tiene?  Haz un
                                          –8
                                                                         collage con aplicaciones de esta curva.




                                                                                                      Matemática   47
                                                                                                           2.º BG





                                                                                                                     30/7/25   10:05
         Matematica 2 BG Cultiva.indb   47                                                                           30/7/25   10:05
         Matematica 2 BG Cultiva.indb   47]]></page><page Index="12"><![CDATA[DUA
                   Cívica, Ética e Integridad                                                  Participación




                 Valores democráticos


                ©Shutterstock




                                                           Tolerancia

                                                           •  Nos permite coexistir
                                                             en armonía dentro de
                                                             la pluralidad de la
                              Justicia                       sociedad.

                            •  Es propia de los Estados     •  Significa respetar lo    Participación
                              de derecho.                    diferente y aceptar
                                                             la diversidad.
                            •  Garantiza que a cada                               •  Fomenta la implicación
                              persona le corresponda                                ciudadana en la vida
                              lo que le pertenece.                                  política y los asuntos
                                                                                    públicos.
                            •  Ayuda a mantener el bien
                              propio y comunitario.                               •  Contribuye a fortalecer la
                                                        Los valores democráticos    democracia representativa.
                                                           permiten dirigir a la
                                                         sociedad de una manera
                                                          más justa y equitativa.

                           Pluralismo                                                Libertad
                           •  Permite valorar y                                      •  Posibilita la libre
                             respetar las diferencias                                  expresión de opiniones
                             individuales y colectivas.                                y la elección de un estilo
                                                                                       de vida en un entorno
                           •  Enriquece la sociedad,                                   diverso.
                             promoviendo la libertad
                             y la fraternidad.                                       •  Los ideales individuales
                                                        Igualdad                       no deben afectar la vida
                                                        •  Se refiere a la equidad     de los demás.
                                                          jurídica y política de
                                                          todos los ciudadanos.

                                                        •  Permite acceder a los
                                                          derechos sin distinción
                                                          alguna.





               Taller                                                  Igualdad

               1.   Formen grupos de trabajo y elijan un valor por grupo.

               2.   Investiguen acerca de ese valor, realicen afiches y expongan. Discutan sobre la importancia de estos valores.



               48    Matemática
                     2.º BG





                                                                                                                     30/7/25   10:05
         Matematica 2 BG Cultiva.indb   48                                                                           30/7/25   10:05
         Matematica 2 BG Cultiva.indb   48]]></page><page Index="13"><![CDATA[Educación                                                                        DUA
                     Financiera                                                                   Participación



                    El sistema financiero empieza en casa


                   ©Xavier Estrada Monge      Evita gastar tu dinero          Evita encender




                                              en aerosoles. Puedes
                                              colocar cáscaras de             aparatos eléctricos
                                                                              en las horas de
                                              limón o naranja en              máxima demanda
                                              bolsas de malla. Así            (18:00 a 21:00).
                                              evitas malos olores
                                              en el ambiente.                 Así pagas menos.





                                              Organiza tu tiempo              Compra lo que
                                              para lavar la ropa
                                              en ciertos días, así            realmente necesitas.
                                              reducirás el consumo            Procura cuidar tus
                                                                              pertenencias para
                                              de agua y electricidad.
                                              Aprovecha la energía            que tengan una
                                                                              larga vida útil.
                                              solar para secar tu ropa.




                                                                               No dejes aparatos
                                              Cocinar en ollas
                                              verticales, o en olla            electrónicos
                                              de presión, ayuda                conectados de
                                              a gastar menos gas.              manera
                                                                               permanente.





                                              Compras de mayor                Intenta destinar
                                              volumen generan                 una cantidad para
                                              ahorro. Por ejemplo,            ahorrar, por más
                                              es más barato comprar           pequeña que esta
                                              un galón de jabón               sea. Lo importante
                                              líquido que adquirir            es empezar con un
                                              este producto por litros.       plan de ahorro.




                  Taller

                  1.   Una vez al mes, realicen en tu casa una reunión familiar para revisar gastos comunes. Muestren cuánto se gasta
                      en servicios, supermercado, diversión y otros.

                  2.  Hagan una lluvia de ideas para reducir gastos innecesarios, establezcan metas de ahorro entre todos.


                                                                                                      Matemática   49
                                                                                                           2.º BG





                                                                                                                     30/7/25   10:05
         Matematica 2 BG Cultiva.indb   49
         Matematica 2 BG Cultiva.indb   49                                                                           30/7/25   10:05]]></page><page Index="14"><![CDATA[3                      Operaciones con funciones racionales









                                         D  isposición y compromiso
                    Saberes previos      El rendimiento del combustible es una medida esencial en el uso de vehículos,
                                         ya que indica cuánta gasolina se consume por unidad de distancia recorrida. Este
                        ¿Cuáles son las
                    operaciones básicas     rendimiento puede variar según el tipo de vehículo, las condiciones del motor, el tipo
                        con funciones?   de terreno, la velocidad y otros factores.
                                         Dos autos están viajando por la misma carretera, pero tienen diferentes rendimientos
                                         de combustible. Un auto A y otro auto B consumen gasolina según las siguientes
                                         funciones:
                                                                 Auto A              Auto B

                                                                                           2
                                                                     1
               ©Shutterstock                                  fx() =  x +1          gx() =  x +2
                                         donde x es la distancia en kilómetros, y f (x) y g (x) son el consumo en litros por kiló-
                                         metro de cada auto.

               Para determinar el rendimiento   Suponiendo que ambos autos recorren la misma distancia al mismo tiempo, se plan-
               de combustible se emplea   tean las siguientes preguntas:
               matemática.
                                         a)  ¿Cuál es la función total de consumo de gasolina por kilómetro?

                      Seguridad vial     b)  ¿Cuál es el consumo total de gasolina por kilómetro para una distancia de 100 km?


               Conducir un auto implica   Pienso y progreso
                asumir responsabilidades   ¿Piensas que el rendimiento de combustible de un auto está relacionado con la potencia
                  que afectan tanto a la   de su motor?
                     seguridad como al
                   medioambiente. Una
                educación vial adecuada   U  nidad de conocimientos
                   promueve conductas    Sean p, q, r, s polinomios reales de grado ≤ 2, f y g dos funciones racionales definidas
                     responsables, pero              px()                   rx()
                                                                                  x
                                                                                          (
                                                                     ),
                                                                   (
                 también debe fomentar   como: fx() =    , ∀ x∈  Dom fg x() =   , ∀∈  Dom g)
               alternativas de transporte            qx()                   sx()
                      más ecológicas y   Definiremos las siguientes operaciones.
                            eficientes.
                                                                                    p r   ps +qr
                                          Adición de funciones racionales     fg                ,q ≠0,s ≠0.
                                                                               += +=
                                                                                    q s     qs
                                                                                    p r   ps – qr
                                                                                      –
                                                                               –
                                          Sustracción de funciones racionales  fg  =  q s  =  qs  ,q ≠0,s ≠0.
              ©Shutterstock                                                       p r  pr
                                                                                  q s
                 Investiga sobre los autos   Multiplicación de funciones racionales  fg  =⋅ =  qs ,q ≠0,s ≠0.
                 híbridos y eléctricos. Haz
                                                                                               0
                una comparación con los   Producto de números reales          cf⋅= c  p  = cp  ,  q ≠ ,  c∈
                   autos convencionales.  por funciones racionales                  q   q
                                                                                    p r    ps
                                                                                                 0
                                                                                 g
                                          División de funciones racionales    f ÷=    ÷=     ,  q ≠ ,  r ≠ 0
                                                                                    q  s   qr
               50    Matemática
                     2.º BG





                                                                                                                     30/7/25   10:05
         Matematica 2 BG Cultiva.indb   50
         Matematica 2 BG Cultiva.indb   50                                                                           30/7/25   10:05]]></page><page Index="15"><![CDATA[A  cción y expresión

                  Ejemplos paso a paso                                                                  Matemática
                  1.  Respondamos las preguntas del problema inicial:
                                                                                                 En el cálculo con números
                   Paso 1. La función total de consumo de gasolina de los autos del problema inicial    reales se cumple:
                   se consigue mediante la suma de las dos funciones.                            Teorema
                   Sumamos las funciones:                                                        i.  x(y – z) = xy – xz.
                                                                                                           +
                              1     2                                                            ii.  x  z  xu yz   ,
                   fx()+  gx() =  +                                                                 +  =
                             x +1  x +2                                                            y  u    yu
                                                                                                   siempre que y ≠ 0, u ≠ 0.
                   Aplicamos la definición de la operación suma:
                                                                                                            −
                                                                                                      z
                     1    2   x ++ (    1    3x + 4                                              iii.  x  −=  xu yz  ,
                                 22 x + )
                       +     =           =                                                         y  u    yu
                                  1 x +
                   x + 1 x +  2  ( x + )(  2)  ( x + 1 x +)(  2)
                                                                                                   siempre que y ≠ 0, u ≠ 0.
                   Paso 2. Calculamos (f + g)(100)
                                                                                                   x
                                                                                                      z
                                                                                                 iv.  ×=  xz  ,
                               ( 3 100 )+ 4  304                                                   y u   yu
                   (f +  g )(100 )       =      =  , 003 litro/km
                            (100 +1 )(100 2 ) 10 302                                               siempre que y ≠ 0, u ≠ 0.
                                      +
                                                                                                   y   xu
                  2.  Una función compleja es la que contiene operaciones con funciones racionales   v.   z  =  yz  ,
                      en el numerador y denominador.                                               u
                                                       3          x                              con y ≠ 0, z ≠ 0, u ≠ 0.

                      Con las siguientes funciones: fx() =  ,(
                                                           gx) =
                                                      2
                                                     x −1        x +1
                                                     fx()+ gx ()
                      Halla la siguiente operación:  hx() =
                                                     fx ()− gx ()
                   Paso 1. Realizamos las operaciones en el numerador y denominador por separado.
                          3     x   3 +  xx ( −1 )  3 +  x −  x
                                                  2
                         2
                                                 2 2
                                       2
                         x −1 +  x +1  x −1     x − 1
                   hx () =        =          =
                          3     x   3 −  xx ( −1 )  3− x 2  + x
                                       2
                         2
                         x −1 +  x +1  x −1     x 2  − 1
                   Paso 2. Simplificamos los términos que sean posibles.
                         3 +  x − x
                             2
                                     2
                                       x
                            2
                           x −1     x −+3
                   hx () ==      =
                                     2
                             2
                                        x
                         3 −  x +  x  − x + +3
                            2
                           x −1
                                                                                             ©Shutterstock
                         Socioemocional
                    Albert Einstein dijo: “Hay una fuerza motriz más poderosa
                    que el vapor, la electricidad y la energía atómica: la
                    voluntad”.
                    ¿Cómo puedes aplicar estas sabias palabras del gran genio
                    para mejorar tu vida diaria?



                                                                                                      Matemática   51
                                                                                                           2.º BG





                                                                                                                     30/7/25   10:05
         Matematica 2 BG Cultiva.indb   51                                                                           30/7/25   10:05
         Matematica 2 BG Cultiva.indb   51]]></page><page Index="16"><![CDATA[DUA
               Evaluación formativa                                                          Acción y expresión





                               1                  1                   g)   g (x) ÷ f (x)
               1.  Sean  () =fx   ,.x  ≠ 4;...g ()=x  ,.x  ≠ ±4,
                              x –4             x 2 –16
                   desarrolla las operaciones solicitadas en cada
                   literal.


                   a)   f (x) + g(x)
                                                                                     x
                                                                            fx () =  x −−6 ,  x ≠−2  y  x ≠ 3
                                                                           
                                                                                    2
                                                                                       x
                                                                   2.  Sean       x −3
                                                                            gx () =  x +2 ,  y   x ≠−2
                                                                            
                                                                      Realiza las operaciones solicitadas.
                   b)   f (x) – g (x)
                                                                      a)  g (x) + f (x)








                   c)   f (x) · g (x)
                                                                      b)  g (x) – f (x)








                   d)   –2 · f (x)
                                                                      c)  f (x) – g (x)








                   e)   4 · g (x)                                     d)  g (x) · f (x)









                   f)   f (x) ÷ g (x)                                 e)  f (x) ÷ g (x)









               52    Matemática
                     2.º BG





                                                                                                                     30/7/25   10:05
         Matematica 2 BG Cultiva.indb   52                                                                           30/7/25   10:05
         Matematica 2 BG Cultiva.indb   52]]></page><page Index="17"><![CDATA[⎧       x 2 –3 – 4
                                        x
                           ⎪ f ( ) =x  ( + 4 x  ) ,.x  ≠ –4  y  x ≠ –1
                                   x
                                       )( +1
                           ⎪
                  3.  Sean  ⎨
                           ⎪        4
                             ( ) =
                           ⎪ g x  x  + 4 ,.x  ≠ –4
                           ⎩
                                                                            a)   1                c)  x – 1
                      Resuelve las operaciones indicadas en cada ítem           x + 1             d)  x
                      y selecciona la respuesta correcta.                   b)  x + 1
                      A)  f (x) + g (x)
                                                                         B.  g (x) ÷ f (x)




                             x –8              c)  0
                         a)                                                                       c)  x – 2
                             x +4                                           a)     1

                              x                d)  Ninguna de                   x − 2             d)  2
                         b)                                                 b)  x + 2
                             x + 4                las anteriores.
                      B)  f (x) ÷ g (x)                              5.  Analiza y selecciona la respuesta correcta

                                                                         ¿Qué aspecto se debe considerar primero antes de
                                                                         operar con fracciones racionales?
                                                                         a)  El valor de los coeficientes.

                             x − 4                  x + 4
                         a)                     c)                       b)  El grado de los polinomios en el numerador.
                              4                     x − 4
                                                                         c)  Las raíces del numerador.
                         b)  x + 4              d)  1                    d)  El dominio, excluyendo los valores que anulan

                                                                            el denominador.
                      C)  f (x) · g (x)
                                                                        Actividad cooperativa

                                                                     En parejas, resuelvan la siguiente fracción compleja.
                                                                     Uno resuelva el numerador y otro el denominador,
                         a)  x – 4                 4( x − 4)         para luego llegar a la respuesta final.
                                               c)   ( x + 4) 2
                              1                                      6.  Sean las siguientes funciones:
                         b)                    d)  1                            x −1         x
                             x − 4                                        fx() =     ,(

                                                                                      gx) =
                                                                                 2
                                                                                x − 4       x −2
                                   x −2                                                                  fx()+ gx()
                            fx () =  x −−2 ,  x ≠−1 y  x ≠ 2            Hallen la siguiente operación:  hx () =
                           
                                   2
                                      x
                  4.  Sean                                                                               fx()− gx()
                            gx () =  2  ,   x ≠−1
                                x +1
                                                                       Indaguemos
                      Resuelve las operaciones indicadas en cada ítem   7.  Investiga acerca de la Ley de Boyle. ¿Qué magnitu-
                      y selecciona la respuesta correcta.                des intervienen en esta ley? ¿Cómo se relacionan?
                      A.  g (x) – f (x)




                                                                                                      Matemática   53
                                                                                                           2.º BG





                                                                                                                     30/7/25   10:05
         Matematica 2 BG Cultiva.indb   53
         Matematica 2 BG Cultiva.indb   53                                                                           30/7/25   10:05]]></page><page Index="18"><![CDATA[DUA
                   Matemática                                                                Participación


                 Rutina de pensamiento: ΄Analiza, modela y toma decisiones`


               Contexto: agricultura inteligente


               Las fincas agrícolas automatizadas utilizan tecnologías para                                         ©Shutterstock
               reducir el desperdicio de recursos y mejorar la producción.

               La cantidad de agua c, en litros, depende del área de las
               parcelas  p que se va a regar dada por la función:
                     200 p
                cp () =
                      p −5
               El área de las parcelas p activadas con el sistema de riego
               es: a(p) = p

                 Fases de la rutina
               1.  Analiza. Problema: ¿qué está pasando?
               Para saber si el sistema está usando más agua de la necesaria, se requiere determinar la eficiencia de riego; es decir,
               cuánta agua se utiliza por metro cuadrado de terreno regado.
               a)  ¿De qué depende la eficiencia del sistema de riego?  b)  ¿Por qué crees que es importante determinar la

                   Depende de la cantidad de agua y del número de     eficiencia de riego?
                   parcelas a regar.                                  Para optimizar los recursos y sobre todo cuidar el
                                                                      medioambiente.

               2.  Modela. Paso a paso
               a)  Determina la función que permita                   e (p)                     La gráfica muestra
                   calcular la eficiencia de riego:                                             la eficiencia de riego
                                                                                                de la finca automatizada.
                               200 p                                             200
                         cp()  p −5                                   50     e(p) = (p – 5)     Observa que la eficiencia
                   ep() =    =                                                                  se vuelve muy alta
                         ap()   p                                                               (positiva o negativa) al
                                                                                                acercarse a p = 5. Cuanto
               b)  Divide las funciones aplicando las                                           más cerca estás, más
                   propiedades de los números reales.                                           extrema es la eficiencia
                                                                                                y eso podría representar
                                                           –50         0   p = 5  50       p    un riesgo para la
                         200  p                                                                 máquina de riego.
                          p −5   200
                   ep() =      =
                           p     p −5                                –50
               c)  Calcula la eficiencia cuando la
                   eficiencia de riego es para 10 parcelas.
                          200
                                             2
                     15
                   e() =       = 20 litros por m  de parcela
                         15 5
                            −
               3.  Toma decisiones. Propón estrategias
               a)  ¿Qué pasa con la eficiencia si aumenta la cantidad  b)  Interpreta el resultado de la pregunta anterior.
                   de agua, pero el área regada se mantiene constante?  Al disminuir la eficiencia, estaríamos desperdician-
                   La eficiencia disminuye.                           do el agua.



               54    Matemática
                     2.º BG





                                                                                                                     30/7/25   10:05
         Matematica 2 BG Cultiva.indb   54                                                                           30/7/25   10:05
         Matematica 2 BG Cultiva.indb   54]]></page><page Index="19"><![CDATA[Aplico rutinas de pensamiento


                  Contexto: no desperdiciemos los alimentos

                  En las cocinas de los restaurantes, es fundamental pla-  La cantidad total de ingredientes (en gramos) necesa-
                  nificar bien la cantidad de ingredientes que se utilizan  rios para x porciones está dada por la función:
                  para evitar desperdicios.                                500 x
                                                                     fx() =
                  Un restaurante elabora un platillo nutritivo para repartir   x −2
                  en porciones iguales. Sabe que la cantidad total de in-
                  gredientes necesarios depende del número de porcio-   El número de porciones necesarias es la función: p(x) = x,
                  nes que desea preparar.                             donde c es la cantidad de clientes.

                    Fases de la rutina
                  1.  Analiza. Problema: ¿qué está pasando?
                  Para evitar el desperdicio excesivo de alimentos que se van a preparar, es fundamental establecer la cantidad
                  de ingredientes necesarios por porción.

                  a)  ¿De qué depende la cantidad de ingredientes necesarios por porción?

                      __________________________________________________________________________________________________________
                  b)  Por qué crees que es importante determinar la cantidad de ingredientes por porción?
                      __________________________________________________________________________________________________________

                  2.  Modela. Paso a paso
                  a)  Determina mediante una división de funciones, la expresión   Dibuja la gráfica de la función y analiza
                      que permita calcular la cantidad de ingredientes por porción:  su comportamiento.

                                                                                                y
                                                                                              240

                                                                                              200
                  b)  Divide  las funciones  aplicando  las propiedades  de los
                      números reales.                                                         160


                                                                                              120

                                                                                               80
                  c)  Calcula  cuántos  gramos  de ingredientes por  porción son               40
                      necesarios para 20 platillos.
                                                                                                0    20  40   60   80  x




                  3.  Toma decisiones. Propón estrategias
                  a)  ¿Qué pasaría si aumenta el número de porciones con la misma cantidad de ingredientes?
                      __________________________________________________________________________________________________________

                      __________________________________________________________________________________________________________

                  b)  ¿Cuál es el número ideal de porciones para asegurar que cada una tenga al menos 50 g? _________________________


                                                                                                      Matemática   55
                                                                                                           2.º BG





                                                                                                                     30/7/25   10:05
         Matematica 2 BG Cultiva.indb   55
         Matematica 2 BG Cultiva.indb   55                                                                           30/7/25   10:05]]></page><page Index="20"><![CDATA[4                      Descomposición en fracciones parciales









                                         D  isposición y compromiso
                    Saberes previos      Una empresa farmacéutica está creando un medicamento líquido que se obtiene
                                         mezclando dos soluciones, A y B. La concentración del medicamento final, en fun-
                    ¿Qué es una facción
                         heterogénea?    ción del tiempo (en horas), desde que se hizo la mezcla es:
                                                                              5 t +7
                                                                      Ct() =
                                                                            t ( +1  t )( +2 )

                                         Responde a las siguientes preguntas:

                                         a)  ¿Qué operación se realizó con las funciones de las soluciones A y B para obtener
                                            la función de concentración?
               ©Shutterstock             b)  ¿Cuál es la fracción que contribuye cada solución A y B individualmente?


                                          Pienso y progreso
                                          ¿Por qué consideras que es útil la descomposición de una fracción en fracciones parciales?
               Es fundamental que los
               medicamentos se dosifiquen   U  nidad de conocimientos
               correctamente.
                                         Fracciones parciales

                                         Las fracciones parciales son una técnica para descomponer una fracción algebraica
                                         en una suma de fracciones más simples, que tienen denominadores más fáciles de
                                         manejar, como factores lineales o cuadráticos, que facilitan los procesos matemáticos.
                      Ética e integridad
                                         Para efectuar esta descomposición, es fundamental que el grado del numerador
                  Actuar con integridad   sea menor que el del denominador, si no es así, se realiza primero la división de los
                  implica priorizar la vida   polinomios y se aplica la descomposición en fracciones parciales al residuo obtenido.
                 humana por encima del   Según la fracción que se va a descomponer, se tienen los siguientes casos:
                     interés económico,
                  garantizando el acceso
                          equitativo a   1.  Factores lineales no repetidos:
                                                                                        A
                      medicamentos, la      Una fracción para cada factor. Ejemplo:   2  =+   B
                                                                                 ( –3
                    transparencia en los                                       xx    )   x  ( –3x  )
                  ensayos clínicos y una   2.  Factores lineales repetidos:
                  comunicación honesta      Una fracción para cada potencia entera del factor, desde 1 hasta la potencia que
                 sobre los efectos de los                                       1   =   A   +   B
                           productos.       tiene en la función original. Ejemplo:   ( –3 ) 2  ( –3 ) ( –3 ) 2
                                                                                       x
                                                                              x
                                                                                              x
                                         3.  Factores cuadráticos no repetidos:
                                            Una fracción para cada factor, donde el numerdor es un polinomio de primer
                                            orden. Ejemplo:
                                                    1       =  Ax +B  +  Cx +D
              ©Shutterstock                ( x 2 +1 )( x 2 + +1 ) ( x 2 +1 ) ( x 2 ++1 )
                                                        x
                                                                          x
                   ¿Cuándo una empresa   4.  Factores cuadráticos repetidos:
                                            Una fracción para cada potencia entera del factor, desde 1 hasta la potencia
                  farmacéutica puede ser    que tiene en la función original, empleando polinomios de orden 1. Ejemplo:
                antiética? Dialoga con tus      1      Ax +B   Cx +D
                  compañeros sobre esta              =       +
                           posibilidad.      ( x 2  +  ) 3  2  ( x 2  +  ) 3  ( x 2  +  ) 3  2


               56    Matemática
                     2.º BG





                                                                                                                     30/7/25   10:05
         Matematica 2 BG Cultiva.indb   56
         Matematica 2 BG Cultiva.indb   56                                                                           30/7/25   10:05]]></page><page Index="21"><![CDATA[A  cción y expresión

                  Ejemplos paso a paso                                                                Desarrollo
                                                                                                      sostenible
                  1.  Retomemos el problema inicial.
                                                                                                 Cuando los
                      a)  Analicemos la fracción dada y respondamos la pregunta planteada.       medicamentos se tiran al
                                                                                                 inodoro o a la basura
                                 5 t +7
                         Ct () =                                                                 común, sus componentes
                               t ( +1  t )( +2 )                                                 químicos pueden filtrarse
                                                                                                 al suelo y al agua,
                          Por cuanto se trata de dos soluciones que se mezclan y se tienen dos factores   afectando ecosistemas,
                         lineales en el denominador, para obtener la función de concentración final se   animales y fuentes de
                         suman dos fracciones.                                                   agua potable.
                      b)  Determinemos las fracciones parciales. ¿Cuál es la fracción que contribuye
                         cada solución A y B individualmente?
                   Paso 1. Igualemos la fracción a la suma de dos fracciones como en el caso 1.

                     5t +  7  =  A  +  B                                                                                ©Shutterstock
                   ( t + 1 t +)(  2)  t + 1 t + 2

                   Paso 2. Operamos en el lado derecho de la igualdad.
                               (
                                                          AB
                                                              ) + A B
                                      (
                                                  +
                     5t +  7  =  At + 2 + )  Bt + 1)  =  At + 2ABtB  =  ( + t 2  +               ¿Qué debes hacer cuando
                                                     +
                   ( t + 1 t +  2)  ( t + 1 t +  2)  ( t + 1 t + 2) )  ( +1 )( +2 )              te recetan medicamentos?
                                                            t
                                   (
                                   )
                       (
                       )
                                                 )
                                                                t
                                                 (
                   Paso 3. Igualamos los coeficientes de los  Paso 4. Resolvemos el sistema y sustituimos
                   denominadores y obtenemos un sistema  los valores en las fracciones parciales.
                   de ecuaciones.                                  5 t +7   2    3
                                                             3
                                                      A = 2;  B = ⇒       =    +
                      7
                           + )
                   5t +=( A Bt + 2AB                             ( t +1)( t +2)  t +1  t +2
                                   +
                      AB+= 5

                     2AB+= 7
                                                                         x
                                                                      2
                                                                    2x −+   4
                  2.  Descomponemos en fracciones parciales la fracción
                                                                       3
                                                                     x + 4x                            Digital
                   Paso 1. Factorizamos el denominador e igualamos a las fracciones parciales con un factor   Ingresa al link
                   lineal y un factor cuadrático.
                                                                                                 lynk.ec/12mtc03
                     2
                        x
                                   +
                   2x −+   4  =  A Bx C                                                          Practica lo aprendido con
                               +
                                  2
                       2
                     (
                    xx + 4)   x  x +  4                                                          los ejercicios presentados
                   Paso 2. Operamos en el lado derecho de la igualdad.
                                                + )
                                        2
                                2
                                                    2
                        x
                     2
                   2x −+   4  =  Ax +  4ABx + Cx  = ( AB x + Cx + 4A
                                     +
                     (
                                   (
                       2
                                    2
                    xx + 4)       xx + 4)         xx +(  2  4)
                   Paso 3. Igualamos los coeficientes de los  Paso 4. Resolvemos el sistema y sustituimos
                   denominadores y obtenemos un sistema  los valores en las fracciones parciales.
                   de ecuaciones.                                       2
                                                                           x
                                                                   1
                                                      A =1;  B =1;  C =− ⇒  2 x −+ 4  =  1  +  x −1
                     2
                                   2
                               + )
                        x
                          4
                   2x −+ =(   AB x +  Cx + 4A                          xx + 4)  x   x + 4
                                                                                     2
                                                                          2
                                                                        (
                      +=
                     AB   2                                    2
                                                                  x
                                                             2 x −+ 4   1  x −1
                                                          1
                      C =− 1                 A =1 ;  B =1 ;  C =− ⇒  2  =  +  2
                                                               (
                         4                                    xx + 4)   x  x + 4
                      4A =
                                                                                                      Matemática   57
                                                                                                           2.º BG
                                                                                                                     30/7/25   10:05
         Matematica 2 BG Cultiva.indb   57
         Matematica 2 BG Cultiva.indb   57                                                                           30/7/25   10:05]]></page><page Index="22"><![CDATA[DUA
               Evaluación formativa                                                          Acción y expresión




               1.  Completa el planteo de las fracciones parciales   3.  Halla los valores de A y B en cada caso.
                   para las fracciones de cada literal.                   5x − 3  A    B
                                                                      a)        =   +
                         3     A                                          xx − 1)  x  x − 1
                                                                           (
                   a)        =  +
                      xx − 1)  x
                       (
                         5      A
                   b)       =       +
                       x ( + 1) 2  x ( + 1)

                                                                            x +5      A     B
                         4      A                                     b)           =     +
                   c)         =   +      +                                x −  2  x −2  3  x −3  x +1
                      x (x − 3)
                             2
                         2      A
                   d)         =  +    +
                       2
                      xx  +1)
                        (

                        6      A                                      c)    8 x −1   A      B
                   e)       =     +                                        2      =     +
                                                                              x
                      x 2  − 4                                            x +−6     x −2  x +3
                         1      A
                   f)         =  +
                         2
                        x
                       ( x x + 1)

               2.  Responde con verdadero o falso, según              d)    3x +8  =   A  +  B
                                                                               x
                   corresponda.                                           3x 2  +−2  3x  −2  x  +1
                   a)   En la descomposición en fracciones
                      parciales, el denominador debe ser
                      de grado mayor al numerador.

                   b)   En la descomposición en fracciones par-
                      ciales, el numerador debe ser de grado       4.  Halla los valores de A, B y C en cada caso.
                      mayor al denominador.                               5x −  2  36x +  48  A  B  C
                                                                      a)              =   +     +
                   c)   Las fracciones parciales se utilizan para           xx − 4) 2   x   x − 4 ( x − 4) 2
                                                                             (
                      descomponer una fracción algebraica
                      en fracciones más simples.

                   d)   Cuando el numerador de una fracción
                      es de mayor grado que el denominador,
                      no es posible descomponerla en frac-
                      ciones parciales.
                                                                            2
                                                                                  −
                   e)   Si el denominador de una fracción no se       b)    4x + 13x −9  =  A  +  B  +  C
                      puede factorizar, no se pueden aplicar               3  + x  2  −2x  3x  x  x +3  x −1
                      fracciones parciales.

                   f)   Si el denominador tiene un factor cua-
                                             2
                      drático irreducible como x +1, se usa un
                      numerador de la forma Ax+B.


               58    Matemática
                     2.º BG





                                                                                                                     30/7/25   10:05
         Matematica 2 BG Cultiva.indb   58                                                                           30/7/25   10:05
         Matematica 2 BG Cultiva.indb   58]]></page><page Index="23"><![CDATA[Necesidades educativas
                             2
                                x
                      c)    x  −−21     =  Ax  +B  +  C
                           3   2           2
                                      4
                            − 2x  + x  8x − 4  x  − 4  2 −x  1           Si hay una dificultad de aprendizaje, usen palabras que
                                                                         ayuden a pensar, por ejemplo: con quién, qué, dónde,
                                                                         cuándo, por qué, cómo, para qué.

                                                                        Actividad cooperativa

                                                                     6.  En parejas, descompongan en fracciones parciales
                  5.  Descompón en fracciones parciales.                 la siguiente fracción.

                            x –29                                        4x −  x + 15x − 29
                                                                                2
                                                                            3
                      a)
                          x 2  –3 –4                                      2x −  x +  8x − 4
                              x
                                                                             3
                                                                                2
                                                                         a)   Identifiquen y comparen el grado del nume-
                                                                            rador y denominador.
                                                                         b)  Dividan el numerador para el denominador
                                                                         c)  Descompongan en fracciones parciales la frac-
                                  x
                           4x 2 –15 –1                                      ción residuo de la división.
                      b)
                          x 3  –2x 2 –5x +6
                                                                         d)  Escriban la  descomposición total  expresada
                                                                            como la suma del cociente de la división y las
                                                                            fracciones parciales del residuo.
                                                                         e)  Verifiquen el resultado efectuando la suma.

                                                                     7.  Analicen y seleccionen la respuesta correcta: ¿cuál
                           2 + x  +19x  20                               es la forma correcta de plantear la descomposición
                      c)
                          x 3  –3x 2  –10x                               en fracciones parciales de la siguiente expresión?
                                                                             3x + 7
                                                                         ( x − )(  4)
                                                                             2 x +

                                                                              A       B                 A        B
                                                                         a)   x − )  +  x + )     b)        +
                                x
                          4x 2  –5–15                                      (       ( 2  4            ( x − ) 2  2  ( x + ) 4
                      d)
                          x 3  –4x 2  –5x
                                                                                                            +
                                                                              A       B                  Ax B
                                                                                  +
                                                                         c)  ( x − ) ( x + ) 4  2     d)  ( x − )( x + ) 4
                                                                                                              2
                                                                                                       2
                                                                                                          2
                                                                               2
                          5x 2 – 4                                     Indaguemos
                      e)
                           2
                          xx    )                                    8.  Investiga sobre la historia y el origen de las fraccio-
                            ( +2
                                                                         nes parciales.
                                                                         ¿Quién desarrolló este método? ¿Cómo ha evolu-
                                                                         cionado su uso en las matemáticas?
                                                                         Elabora un resumen con un organizador gráfico y
                                                                         un collage.




                                                                                                      Matemática   59
                                                                                                           2.º BG





                                                                                                                     30/7/25   10:05
         Matematica 2 BG Cultiva.indb   59                                                                           30/7/25   10:05
         Matematica 2 BG Cultiva.indb   59]]></page><page Index="24"><![CDATA[DUA
                  Digital                                                                    Participación



               Operaciones con funciones racionales en DeepSeek


               Introducción

               DeepSeek es un modelo avanzado de inteligencia artificial, especializado en proce-
               samiento de lenguaje natural. Se destaca por su capacidad para entender y gene-
               rar texto con alta coherencia y precisión, además de soportar búsquedas en la web
               (cuando el usuario lo activa) y manejar archivos como PDF, Word, Excel y más.

              Características/elementos de esta IA

               Abre  el  link  https://chat.deepseek.com/.  Te  encontrarás  con  algo
               similar al ChatGPT.                                                         Hi, I’m DeepSeek.
                                                                                         How can I help you today?
               Para interactuar debes escribir en el cuadro de diálogo, en español, el
               tema que vas a consultar.

               En la parte izquierda podrás visualizar los chats (temas que vas crean-
               do. En la parte principal, se encuentra el cuadro de diálogo en el cual
               debes escribir las preguntas que desees realizar.
                                                                                   Search
              Ejercicio resuelto

                                                                2
                                                             5x + 3
               Usaremos DeepSeek para descomponer la fracción         en fracciones parciales.
                                                             xx +(  2  1)
               a)  Escribimos la orden en el cuadro de diálogo.

                      Descompón la fracción (5x^2+3)/(x)(x^2+1) en fracciones parciales
                        DeepThink (R1)  Search

               Resultados obtenidos de la IA

               a)  Damos «enter» y en seguida aparecen el procedimiento, explicado paso a paso, y la respuesta al ejercicio
                   planteado.


                   1.  Factorizar el denominador                    4.  Expandir y agrupar términos semejantes
                                             2
                                                           2
                   El denominador ya está factorizado como x(x  + 1). Observamos que x  + 1   Expandimos el lado derecho:
                                                                                          2
                                                                                     2
                                                                                                2
                   no se puede factorizar más en los reales.                        5x  + 3 = Ax  + A + Bx  + Cx
                   2.  Plantear la descomposición en fracciones parciales  Agrupamos los términos semejantes:  2
                                                                                    5x  + 3 = (A + B)x  + Cx + A
                                                                                     2
                   Dado que el denominador tiene un factor lineal x y un factor cuadrático   5.  Igualar los coeﬁcientes de ambos lados
                   irreducible x  + 1, la descomposición en fracciones parciales será de la forma:
                          2
                                                                    Para que los polinomios sean iguales, sus coeﬁcientes correspondientes deben
                                           2
                                5x  + 3  A  Bx  + C                 ser iguales:
                                  2
                                x(x  + 1)  =  x  =  x  + 1                       A + B = 5   (coeﬁciente de x ) 2
                                  2
                                          2
                   donde A, B y C son constantes a determinar.                   C = 0   (coeﬁciente de x)
                                                                                 A = 3   (término independiente)
                   3.  Multiplicar ambos lados por el denominador común  6.  Resolver el sistema de ecuaciones
                   Multiplicamos ambos lados de la ecuaciones por x(x  + 1) para eliminar   De la tercera ecuación, obtenemos directamente A = 3.
                                                 2
                   los denominadores.
                                  5x  + 3 = A(x  + 1) + (Bx + C)x   Sustituyendo A = 3 en la primera ecuación:
                                   2
                                         2
                                                                                  3 + B = 5 ⇒ B = 2
                                                                    De la segunda ecuación, ya tenemos C = 0.
               60    Matemática
                     2.º BG
                                                                                                                     30/7/25   10:05
         Matematica 2 BG Cultiva.indb   60                                                                           30/7/25   10:05
         Matematica 2 BG Cultiva.indb   60]]></page><page Index="25"><![CDATA[Actividades con DeepSeek

                                                                                                  x +2
                  1.  Usa DeepSeek para determinar dominio, recorrido, monotonía y ceros de la función  y =   ¿Cuál es el texto
                      que debes escribir en el cuadro de diálogo?                                 x − 4

                      __________________________________________________________________________________________________________

                  2.  Escribe el problema en el cuadro de diálogo.

                  3.  Realiza una captura de pantalla del resumen final del ejercicio y pégala en el espacio en blanco.




























                  4.  Pregúntale al DeepSeek sobre las aplicaciones de las funciones racionales en la vida cotidiana. Escribe cuatro
                      de ellas.








                                              x +3         x

                                                    gx) =
                  5.   Dadas las funciones  fx() =  ,(       , resuelve las siguientes operaciones con funciones racionales
                                              x −1       x +1
                      y verifica mediante DeepSeek.

                      a)  f (x) + g (x)              b)  f (x) · g (x)                c)  f (x) ÷ g (x)








                  6.  Dialoga con tus compañeros sobre la inteligencia artificial y sus impactos sobre las actividades cotidianas.
                      Hagan una lista de los puntos a favor y los puntos en contra y organicen un debate.

                      __________________________________________________________________________________________________________
                      __________________________________________________________________________________________________________

                      __________________________________________________________________________________________________________

                                                                                                      Matemática   61
                                                                                                           2.º BG





                                                                                                                     30/7/25   10:05
         Matematica 2 BG Cultiva.indb   61
         Matematica 2 BG Cultiva.indb   61                                                                           30/7/25   10:05]]></page><page Index="26"><![CDATA[DUA
                                                 Textos y lecturas
                   Comunicacional                desde la Internet                            Participación


               ‘El hombre que calculaba: Herencia de los tres hermanos’




























               ©Shutterstock





               ”Julio Cesar de Mello Souza, mejor conocido con el seu-  Habilidosamente, el hombre que calculaba propuso
               dónimo, Malba Tahan, fue quien escribió El Hombre que  una solución a este problema a lo que los hermanos
               Calculaba, en 1938. Este libro contiene  aventuras, en  accedieron. Él agregó el camello de su amigo a los
               paisajes árabes, junto con problemas y soluciones de  35 camellos. Al principio, a su amigo no le gustó la idea,
               álgebra y aritmética. Narra las historias de Beremiz y su  pero Beremiz lo convenció de que confiará en él y en
               amigo Hanak en su viaje a la ciudad de Bagdad. Beremiz  la solución que estaba planteando, por lo que aprobó
               Samir, oriundo de Persia, desde niño tenía facilidad con  prestárselo . Entonces, Beremiz comenzó la partición de
               los cálculos. Cuando su jefe se dio cuenta de sus cuali-  los camellos como herencia.
               dades, lo llevó a trabajar con él en su negocio y como le   Ahora, tenían 36 camellos y volvieron a calcular. Al ma-
               hizo ganar mucho dinero lo recompensó con 4 meses   yor, inicialmente, le tocaban 17 y algo más, pero ahora
               de vacaciones. Beremiz decidió ir a visitar a su familia en   le correspondían 18, por lo que no debía quejarse; al
               Bagdad. Al principio de su viaje conoce a Hanak, quien   hermano del medio, al comienzo le tocaría 11 y algo
               lo acompaña en su travesía por la gran ciudad.
                                                                  y ahora recibiría 12, saliendo en ganancia y tampoco
               Rumbo a la ciudad de Bagdad se encontraron con 3 her-  se  quejaría;  al  hermano  menor  le  tocaban  3  y  algo
               manos. Ellos estaban sosteniendo una acalorada disputa  y ahora, con el cálculo de Beremiz, le correspondían 4,
               y tenían cerca un total de 35 camellos. Beremiz, preocu-  así que tampoco se debía quejar. Ahora bien, al sumar
               pado por esta situación, se aproximó y preguntó el mo-  18 + 12 + 4 daba un total de 34, sobrando un camello

               tivo de la disputa. El problema era que el padre de estos  que Beremiz decidió tomar, ya que él había aportado
               3 hombres había muerto y habían heredado sus 35 ca-  la solución al problema de los hermanos y le devolve-
               mellos. Al hermano mayor le correspondía la mitad, al  ría el camello que le tomó prestado a su amigo bagda-
               hijo del medio la tercera parte y al hijo menor la nove-  dí; de esta manera, podrían continuar su viaje y cada
               na parte. Desafortunadamente, todas las divisiones no  uno con su propio camello”.
               eran exactas y esa fue la razón de la pelea entre ellos.

                              Artacho, A. (2017, 29 de julio). La herencia de los tres hermanos: Una historia de fracciones. Matematicascercanas.com.
                                           Recuperado de: https://matematicascercanas.com/2017/07/29/herencia-tres-hermanos-fracciones/


               62    Matemática
                     2.º BG





                                                                                                                     30/7/25   10:05
         Matematica 2 BG Cultiva.indb   62                                                                           30/7/25   10:05
         Matematica 2 BG Cultiva.indb   62]]></page><page Index="27"><![CDATA[Ficha de comprensión lectora

                    1.   De acuerdo con la lectura, responde las preguntas.

                       a)   ¿Qué fue lo que le dio el jefe de Beremiz como premio por su buen trabajo?

                           _________________________________________________________________________________________________________________

                       b)   Cómo se debía repartir la herencia entre los tres hermanos?

                           _________________________________________________________________________________________________________________

                       c)   Si la herencia era de 35 camellos, ¿por qué se repartieron 36?
                           _________________________________________________________________________________________________________________

                       d)   Al final de la historia, ¿cómo se resolvió la disputa?

                           _________________________________________________________________________________________________________________

                           _________________________________________________________________________________________________________________
                    2.   Analiza las siguientes expresiones y determina si son verdaderas (V) o falsas (F).

                       a)   Cuando Beremiz recibió cuatro meses de vacaciones, decidió visitar a su familia en Bagdad.
                       b)   En esta historia de la herencia de los tres hermanos, el problema plantea repartir 48 camellos,
                           según las especificaciones dejadas por el padre en su testamento.
                       c)   Para poder hacer las divisiones que se especificaban en el testamento, Beremiz compró un
                           camello a su amigo Bagdalí.

                       d)   Los tres hermanos estaban enfrascados en una gran disputa porque debían dividir los camellos
                           dejados por su padre, según las especificaciones del testamento, y las divisiones que hacían no
                           eran exactas.




                  Ficha de escritura


                     Actividad personal

                    1.   Escribe tres ejemplos de la aplicación de las matemáticas en la vida diaria.
                       ________________________________________________________________________________________________________

                       ________________________________________________________________________________________________________

                    2.   Escribe tres ideas que te gustaron de la lectura.

                       ________________________________________________________________________________________________________
                       ________________________________________________________________________________________________________

                     Actividad colaborativa

                    3.   Júntate con tres compañeros y repliquen la solución al problema de la herencia de los tres hermanos. ¿Por
                       qué al final cada hermano recibe más de lo que había esperado y aun así sobran 2 camellos? Compartan
                       y comparen sus ideas con las de los otros grupos.


                                                                                                      Matemática   63
                                                                                                           2.º BG





                                                                                                                     30/7/25   10:05
         Matematica 2 BG Cultiva.indb   63
         Matematica 2 BG Cultiva.indb   63                                                                           30/7/25   10:05]]></page><page Index="28"><![CDATA[DUA
                Evaluación sumativa                                                         Acción y expresión




               1.  En la imagen se muestra la gráfica de una función   c)  Para x < –2 calcula los valores de f (x) que se
                   racional. Observa, analiza y responde las siguien-    plantean a continuación.
                   tes preguntas:
                                                                          f(–3), f(–6), f(–8)
                                       y

                                      2

                               x = –1  1      x = 2
                           y = 0
                    –4   –3   –2  –1  0     1    2   3    4   x       d)  Para –2 < x < 3 calcula los valores de f (x) que se
                                     –1                                  plantean a continuación.
                                     –2                                  f(–1), f(0), f(2)


                                     –3

                   a)   ¿Cuál es el dominio de la función?

                      _____________________________________________
                                                                      e)  Para x > 3 calcula los valores de f (x) que se
                   b)   ¿Cuál es el rango o recorrido de la función?     plantean a continuación.
                      _____________________________________________
                                                                         f(4), f(5), f(7)
                   c)  ¿Cuáles son las ecuaciones de las asíntotas ver-
                      ticales?
                      _____________________________________________

                   d)  ¿Existe  asíntota  horizontal?,  ¿cuál  es  su  ecua-
                      ción?                                           f)  Con los datos obtenidos en los incisos anterio-

                      _____________________________________________      res, grafica la función.
                   e)  ¿Tiene una asíntota oblicua?
                                                                                           y
                      _____________________________________________                        8

                             (–2)(x  x +1)
               2.  Sea:  () =fx                                                            6
                              x 2  –– 6
                                  x
                                                                                           4
                   a)  Halla el Dom(f).
                                                                                           2



                                                                           –6   –4    –2   0      2     4    6    x
                                                                                          –2
                   b)  Halla las asíntotas.
                                                                                          –4


                                                                                          –6



               64    Matemática
                     2.º BG





                                                                                                                     30/7/25   10:05
         Matematica 2 BG Cultiva.indb   64                                                                           30/7/25   10:05
         Matematica 2 BG Cultiva.indb   64]]></page><page Index="29"><![CDATA[⎧         x  –3                               La eficiencia E(t) se modela con la función racional
                             () =
                           ⎪ fx   x 2  –6x + 9 ,.x  ≠ 3                  Et() =  1  , cuya gráfica es:
                           ⎪
                  3.  Sean  ⎨                                                 t −2
                           ⎪ gx     1  ,.x ≠ 3
                             () =
                           ⎩ ⎪    x –3                                                         E (t)
                      Encuentra las operaciones solicitadas.                                    5


                      a)  f (x) + g(x)

                                                                            –10      –5         0         5       10 t
                                                                                                     t = 2
                                                                                               –5




                      b)  f (x) · g(x)                               Contesta la rutina de pensamiento
                                                                           Veo
                                                                     Observa la función y su comportamiento.
                                                                     ¿Qué observas en la gráfica y/o en la función?

                                                                     _____________________________________________________

                  4.  Descompón en fracciones parciales:             ¿Qué sucede con la eficiencia cuando el tiempo de
                                                                     producción es bajo o muy alto?
                            x +5
                      a)                                             _____________________________________________________
                              x
                          x 2 –2 –3

                                                                          Pienso
                                                                     ¿Qué crees que está ocurriendo con la máquina y su
                                                                     eficiencia?

                                                                     _____________________________________________________
                    Coevaluación                                     _____________________________________________________
                  Trabajen en equipo la rutina de pensamiento            Me pregunto
                  Veo – pienso – me pregunto.
                                                                     ¿Por qué no se puede usar exactamente t =2?
                  5.   Una fábrica produce piezas con una máquina que
                      trabaja de forma más eficiente cuando el tiempo   _____________________________________________________
                      de producción t se aleja de las 2 horas.       _____________________________________________________



                     Metacognición para aprender     Responde en forma oral o escrita.

                   ¿Entiendo por qué una función racional no está definida en ciertos valores?
                   ¿Comprendo qué ocurre con el comportamiento de la función cerca de los valores que anulan el denominador?

                   ¿Puedo representar una función racional gráficamente?
                   ¿Qué pasos sigo para analizar una función racional (dominio, rango, asíntotas, intersecciones,)?
                   ¿Puedo operar con funciones racionales?

                   ¿Soy capaz de descomponer una fracción en fracciones parciales?

                                                                                                      Matemática   65
                                                                                                           2.º BG





                                                                                                                     30/7/25   10:05
         Matematica 2 BG Cultiva.indb   65
         Matematica 2 BG Cultiva.indb   65                                                                           30/7/25   10:05]]></page><page Index="30"/></pages></Search>
