0 x ( f − )() x +7 x −3 a) Evalúa la función para f(−2) y f(1). 3 g x = b) Traza la gráfica de f. x x c) Sean fx() =−2 y gx() =+ 4, halla ⋅ ( fg x )() . a) f(–2) = –3; f(1) = 3 b) ⋅ ( 2 fg x )() = x +2 x −8 y 4 3 2. Encuentra el dominio de las siguientes funciones: 2 1 1 1 1 ( a) Encuentra gf x()) si fx() = x y g x() = + . x 5 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0– 1 2 3 4 5 6 x ( gf x()) = x +5 –1 –2 Dominio: x ≥ 0 –3 –4 b) Dominio de la función: fx() = x −5 –5 5. Simpli ca las siguientes expresiones racionales. Dominio: x ≥ 5 2 a) x + x 3 + 2 x −− 2 x 2 x +2 2 x +3 c) Dominio de la función: fx() = x −2 2 x −9  Dominio: – ± {} 3 2 x b) 2x −− 1 x + 3 ⋅ 2 x − 9 2x + 1 3. Para las siguientes funciones racionales, encuen- x −1 tra las asíntotas verticales y horizontales. x −3 3 x +1 a) Sea fx() = x 2 x 1 + x −2 c) − x − 4 x 2 + 2 A. vertical x = 2 A. horizontal y = 3 1 x − 2 8 Matemática 3.º BG 21/8/25 12:29 Matematica 3 BG Cultiva.indb 8 21/8/25 12:29 Matematica 3 BG Cultiva.indb 8]]> 0 y a ≠1, la función exponencial con base a está defi nida por: fx () = a . x Comunicacional La función que a cada número real x le hace corresponder la potencia a se llama función exponencial de base a y exponente x. El número ‘e’, también Gráficas de la función exponencial. Propiedades conocido como ‘número de Euler o constante de y y Napier’ es uno de los a > 1 0 < a < 1 números reales más relevantes, considerado como el número del y = a x cálculo por excelencia. 1 1 y = a x Su valor aproximado es: x x e ≈ 2,718 281 828 459 045 0 0 235 360 287 471 352 662 • El dominio de f(x) son los números • La función fx () = a . para 0 < a <1 x 497 757 247 093 699 95 reales. es decreciente. ] • El rango o recorrido es de 0,+∞[ . • La asíntota horizontal es y = 0. x Digital • La función fx () = a . para a >1 es cre- • La intersección con el eje y es en ciente. el punto (0, 1), no corta al eje x. Para que puedas graficar sin ningún problema, Función exponencial natural puedes utilizar el y x programa GeoGebra y Es la función exponencial: fx () = e , 6 trabajar de forma online: con base e. 5 lynk.ec/13mtc01 La función exponencial es conocida 4 formalmente como la función real 3 x e , donde e es el número de Euler, g: y = e –x 2 f: y = e x aproximadamente 2, 718 28… 1 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 x M.5.1.74. Reconocer y graficar funciones exponenciales analizando sus características: monotonía, concavidad y 12 Matemática comportamiento al infinito. 3.º BG 21/8/25 12:29 Matematica 3 BG Cultiva.indb 12 21/8/25 12:29 Matematica 3 BG Cultiva.indb 12]]> 0 y a ≠1 es biyectiva, es decir, tiene función in- versa. Para calcularla, intercambiamos x por y, e y por x; se obtiene: xa= y , o sea, Para graficar funciones y es el exponente al que hay que elevar una base a para obtener x. Si reemplazamos logarítmicas, puedes la palabra ‘exponente’ por la palabra ‘logaritmo’ se obtiene: emplear el programa GeoGebra online clásico. y =log x () si y solo sí x = a y En la entrada coloca a la función y = log(x), La función logarítmica con base a es la función inversa de la función exponencial puedes ingresar a través del siguiente enlace: con base a. lynk.ec/13mtc02 Gráficas de la función logarítmica y exponencial • El dominio de la función logaritmo son los reales positivos, es decir, no existen y y = a x logaritmos de números negativos. = = = 6 y y y = x • El rango o recorrido es el conjunto de los números reales. 4 • La función y =log x () corta al eje x en el punto (0, 1); no corta al eje y. 2 y = log (x) a (0, 1) a (1, 0) • La asíntota vertical es x = 0, es decir, el eje y es asíntota vertical. –2 0 0 2 4 6 8 10 12 x ] a > 1 y decre- –2 • La función y =log x () es creciente en el intervalo de 0,+∞[ con a >1 h a ] ciente en el intervalo de 0,+∞[ si 0 < a >1 a < 1. a > 1 Propiedades y y = x + = y y 6 Para cualquier par de números reales positivos mn, ∈ se cumplen las siguientes y = a x propiedades: 4 2 2 2 2 1.1)log 1 () = 0 4. 4) log ( mn) = log m () + log n () (0, 1) (1, 0) a a a a –4 –2 0 0 2 2 2 2 4 6 8 10 x –2 y = log (x)  m  log n () h a 2. 2)log a a () = 1 5. 5) log a   = log m () − a a  n  0 < a < 1 k m a 3. 3) log a ( ) = x 6. 5) log a ( ) = k log m () x a 18 Matemática M.5.1.75. Reconocer la función logarítmica como la función inversa de la función exponencial para calcular el 3.º BG logaritmo de un número y graficarla analizando esta relación para determinar sus características. 21/8/25 12:30 Matematica 3 BG Cultiva.indb 18 21/8/25 12:30 Matematica 3 BG Cultiva.indb 18]]> 0 entonces log x () es creciente. es creciente. F F –1 a X X F F b) Si a > 1 entonces log x () es decreciente. es decreciente. a y c) 4 c) Para fx () log= a x () el dominio es V V 3 ] 0,+∞[ . 2 d) El logaritmo de la base siempre es 1. V V 1 e) El logaritmo de 1 es siempre cero, –1 0 1 2 2 2 2 3 3 4 5 6 7 8 9 x independientemente de la base. V V –1 X X f) La base de un logaritmo puede ser d) y un número negativo. F F 5 4 4. Escribe en forma exponencial o logarítmica. 3 Forma logarítmica Forma exponencial 2 2 1 1 1 log () = 27 = 3 3 3 27 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 x 3 ( 3 2. Completa las tablas de valores. Usa una calculado- log 64) = 3 4 = 64 4 ra y luego gra ca. 2 2 a) af x)( )log = x () log () = 2 2 ( ) = 2 2 x 1/4 1/2 3/4 1 3/2  bc  bc x  f(x) –0,60 –0,30 –0,12 0 0,18 log a   d  = x a = d y 2 0,6 0,6 0,6 0,8 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4 1,6 1,8 2 2,2 2,4 x 2,8 log 5 () + log(20 ) 2= 10 = 100 0,6 0,6 0,8 0,8 0,8 0,8 –0,5 –1 81 = 2 log () 2 (2x + ) 3 = 81 –1,5 (2x+ ) 3 –2 –2,5 20 Matemática 3.º BG 21/8/25 12:30 Matematica 3 BG Cultiva.indb 20 Matematica 3 BG Cultiva.indb 20 21/8/25 12:30]]> 0 y a ≠1 y a > 0 y a ≠1 entonces x = y. En el análisis de bacterias Además, se puede aplicar uno de estos casos: igualar bases, tomar logaritmos a los están presentes las dos miembros de la igualdad o cambio de variable. ecuaciones exponenciales. A cción y expresión Ejemplos paso a paso 1. Regresemos a nuestro problema inicial y respondamos las preguntas. Paso 1. Construimos una tabla para Paso 2. Si la población de bacterias es de determinar el modelo de crecimiento 64 000 reemplazamos en la ecuación exponencial. 64 000 1000 2 t = × Tiempo (h) 0 1 2 3 Dividimos para mil y descomponemos 64 en base 2. N.° bact. 1 000 2 000 4 000 8 000 t 6 t = 64 2 ; 2 = 2 × Pt() =1 000 2 t Como las bases son iguales, entonces igualamos los exponentes: t = 6 Matemática Paso 3. Respondemos la pregunta: para que el cultivo alcance las 64 000 bacterias, pasarán 6 h. Cambio de base 2. Resolvemos las siguientes ecuaciones exponenciales por diferentes métodos. Si u > 0 y a y b son números reales diferentes a) Por igualación de bases b) Aplicando logaritmos de 1, entonces se puede 5 ( x+ 1) = 21, tomamos logaritmos realizar un cambio 2x− 1 3 x− 3 = 27 , a exponentes () de base: fraccionarios log 5  ( x+ 1)  = log 21 , por propiedades log u x− 3 3   log u = a 3 2x− 1 = 3 , igualamos 2 b 21 log b ( x + ) 1 log () =5 log (), despejamos a los exponentes () () x −3 = 3 ( x + ) = log 21 ; x = log 21 −1; 1 2 x −1 2 log () 5 log () 5 , −3 x = 0 8917 2 x −=6 6 x −3; x = 4 M.5.1.77. Aplicar las propiedades de los exponentes y los logaritmos para resolver ecuaciones con funciones 24 Matemática exponenciales y logarítmicas, con ayuda de las TIC. 3.º BG 21/8/25 12:30 Matematica 3 BG Cultiva.indb 24 21/8/25 12:30 Matematica 3 BG Cultiva.indb 24]]> 0. debemos celebrar los pequeños logros y A cción y expresión avances, además darles a conocer que cada paso Ejemplos paso a paso hacia adelante, por pequeño que sea, es un 1. Resolvamos la ecuación logarítmica. progreso significativo. ( log x + 3) + lo ( 1) 2 g x − = 3 3 Paso 1. Aplicamos propiedades de logaritmo. log x + )( 1) 2 3 ( 3 x − = Paso 2. Escribimos en forma exponencial, ( x + )( x − ) = 3 2 1 3 y multiplicamos. ©Shutterstock 2 = x +2 x −120 Paso 3. Resolvemos la ecuación de −± b − 4 ac −± 4 48 + 2 2 b segundo grado; empleamos la fórmula x = ; x = El trabajo en parejas coadyuva general. a 2 2 a solventar dificultades. x =− + 13; x = −− 13 1 1 1 2 Paso 4. Verificamos las soluciones x =− 1+ 133 49 ≈ , obtenidas en la ecuación original; log(x) 1 está definido para x > 0. x =− 1− 13 ≈ − 3 71,, no cumple 2 S =− { 1+ 133 49} ≈ , Interdisciplinariedad 2. Resolvemos la ecuación: ( − ) ln −− ) +4 x ln() =3 ln(2 x Matemática y Música Aplicamos propiedades de los logaritmos, escribimos en notación exponencial, ¿Qué tiene que ver igualamos bases y resolvemos la ecuación resultante. la matemática con la música? ) = 2 x) ( ; ) −− ) x − ln −− ) =4 x 3 ln(2 x e ( 34 = e (2 − ) x ; 3 (− −4 x ( ( − Pues en realidad, mucho. −12 3x =− x; 2x =−14; x =−7; ==− {} 7 El uso de logaritmos en la − 2 S música permite hallar las 3. Resolvemos la ecuación logarítmica. vibraciones de las tonalidades musicales, 2( x log 4 + 4) =+ log 2 ( x+ 1 − 3) pero para hallar estas x 2 Paso 1. Aplicamos propiedades de logaritmo. ( x 4) = log 2 + log 2 ( x+ 1 − 3) vibraciones, siempre tiene x log 4 + que estar el logaritmo en 2 2 2 2 ) 2(  3) ; log 4 + 3 2+= x log 4 + 4) = log 2 + log 2 ( x+ 1 − 4 x 4 2( 2 x 2x+ 1 − 4) = ( log 22 ( x+ 1 − 3)    base dos. x x x  2 2 2( log 22 ( 3) x 2x+ +× 3 2 = 2 +− 1 2x  4 2 Paso 2. Escribimos en forma exponencial, igualamos bases, operamos. 0  − x 1 x+ log 4 + 4) = x    2 2 2 +× 4 0 4 += 2x+ 1 − 3 2 ( ) 2 −× 2x 3 2 += x 2x x 4 2 x 2 x 4 0 3 2x 4 2 2x 3 2 = 2 +− 2x+ 1 +× x 0 2 −×2 −= , z = 2 : entonces: Seaz = 2 x 2 x 2 Paso 3. Resolvemos la ecuación de segundo grado, con cambio de variable. ©Shutterstock 2 2 +× 2 −× 3 2 += 2x 2x x 4 0 Seaz = 2 x , entonces: z = 2 x 2 z −3 z − = 0 x : 2 2 4 2x 2 −×2 −= 4 0 2 3 x 2 4 z −3 z − =4 0 ( z − )( z + ) =1 0 ; z = 4 z ; Como: z = 2 , entonces: Altavoces y sonido. = =−1 2 1 x x = entonces: 42 ; x 2 Como: z = 2 , z − )( ( Paso 4. Volvemos a la variable original y verifi camos las soluciones. 2 2 = 2 x ⇒= z ; ; z = 4 0 4 = =−1 z + ) =1 1 2 x = x x Como: z = 2 , entonces: 42 ; 2 2 = 2 x ⇒= −=12 ; no existe x 2 x 12 ; = x 2 42 ; 2 2 = 2 x ⇒= −= x no existe S={2} } } x −=12 ; no existe S={2} } S={2} Matemática 25 3.º BG 21/8/25 12:30 Matematica 3 BG Cultiva.indb 25 Matematica 3 BG Cultiva.indb 25 21/8/25 12:30]]> a gx() ∨ a fx() < a gx() Donde f(x) y g(x) son expresiones en x, a∈ + ∧ a ≠1. Caso 1: si a > 1, entonces los exponentes Caso 2: si 0 < a < 1, entonces los exponen- de la inecuación dada son desigualda- tes de la inecuación dada son desigualda- des en el mismo sentido, es decir: des en sentido contrario, es decir: a fx() > a gx() ⇔ f(x) > g(x) a fx() > a gx() ⇔ f(x) < g(x) a fx() < a gx() ⇔ f(x) < g(x) a fx() < a gx() ⇔ f(x) > g(x) Parque de las iguanas, Guayaquil A cción y expresión Ejemplos paso a paso 1. Regresemos a nuestro problema inicial y respondamos la pregunta. Paso 1. Como la población debe ser de al Paso 2. Dividimos la desigualdad para 2 000; Desarrollo menos 10 000 habitantes, planteamos la tomamos logaritmos y despejamos. sostenible inecuación. 2 005t ≥ 5 ; log( 2 ) ≥ log() 0 05t , , 5 Pt() = 2 000 ×2 , 005 t 2 ≥ Los logaritmos no solo 0,05t × log() log() 5 son herramientas 2 000 ×2 , 005 t ≥10 000 . l og 5 () 5 matemáticas abstractas. t ≥ ; t ≥ 46,43 2 , Su aplicación práctica en 005log() . modelos de crecimiento Paso 3. Respondemos la pregunta: para que la población sea de al menos 10 000 poblacional y sostenibilidad permite habitantes, deben pasar más de 46 años. tomar decisiones informadas para garantizar 2. Resolvemos las siguientes inecuaciones exponenciales. un equilibrio entre a) Ejemplo caso 1: a > 1. b) Ejemplo caso 2: 0 < a < 1 las necesidades humanas 4 − 3 3 − 2 x x 2 >( x , ( x 2 >( , ( y la preservación del 6x+ 3 x+ 6 2 05) 4 − 3 0 0625) 3 − 2 , 0 0625) 05) , 5 5 10 medioambiente. 3 > 27 3 − 2 x x x ( x 4 − ¿Por qué es importante 6x+ 3 3 x+ 2) 05) 4 − 3 3   05, ( 05) 4   ) 3 − 2 , ( 4 2 > ( 2 > 05) , ( 5 5 6 10 contar con modelos 3 > 3   ,   matemáticos en el 6x + 3 x + 2 4 −3 3 3 12 − 8 8 x x 12 − 4 −3 05) , ( x x , ( 05) 05) crecimiento poblacional? > 05) 2 >( , 5 5 2 >( , 10 2 4 −x 8 3 12 −x 6x +> 10 4 −x 3 12 −x 8 3 5x + < < 2 5 x > 7 2 5 1 < 20 − 15 24 − 16 − x 1 > 1 4 <− ; x ; x x < > 4 <− ;x 1 x 15 24 −x 16 −; 20 −x 4 4 M.5.1.77. Aplicar las propiedades de los exponentes y los logaritmos para resolver inecuaciones con funciones 30 Matemática exponenciales y logarítmicas, con ayuda de las TIC. 3.º BG 21/8/25 12:30 Matematica 3 BG Cultiva.indb 30 Matematica 3 BG Cultiva.indb 30 21/8/25 12:30]]> 1. a >1 y n∈⇒ log x () >⇔ xa> xa n n Puedes emplear una x () >⇔ > x n  ; a) Si > 0 ;> n x a) Si > 0 a;> 0 n a) Si a >1 n ∈⇒1 n∈⇒ log () >⇔ y xa y n x  n∈⇒ n > a) Si > 0 y x a >1  n x () >⇔ > n xa x log x a  a) Si > 0 y x () >⇔ n∈⇒ log a > x a) a) Si > 0 ; ; ; a >1 y n∈⇒ loga a x () >⇔ xa > n n n calculadora online como  n xa a >1 a loga  llog x () n∈⇒llog x () <⇔ ; x b) Si > 0 y n a >1  xa n n∈⇒llog x () <⇔ xa<⇔ < ;> x x b) Si > 0 a;> 0 n y  a >1 n ∈⇒1 n b) Si < xa < b) Si > 0 xa x y a >1 n  < n∈⇒llog x () <⇔  a xa x n b) b) Si > 0 ; ; ; a >1 y n∈⇒llog x () <⇔ xa < n n n n Symbolab, que es una y a n∈⇒llog x () <⇔ < a y n b) Si > 0 x a >1  a a a ) c ; log g x ; () es equivalente a f(x) < g(x) f x ) c log f x () < () < log log g x ) c log f x () < () < log g x () es equivalente a f(x) < g(x) inteligencia artificial, la ; f x ; () es equivalente a f(x) < g(x) log g x () es equivalente a f(x) < g(x) ; a a a c) ) c loga f x () < log g x () es equivalente a f(x) < g(x) cuál te permitirá verificar f x () < a ; a log g x () es equivalente a f(x) < g(x) a ) c log a a ) c log a g x ( ) >∧0 Solf x) >∧0 f x ( )< a a g x ( ) :( Solf x) g x ( ) >∧0 f x ( )< g x ( ) si tus resultados son f x ( )< g x ( )< g x ( ) >∧0 f x ( )>∧0 :( Solf x) >∧0 g x ( )>∧0 g x ( ) :( g x ( ) >∧0 Solf x) >∧0 :( g x ( ) f x ( )< :( Solf x) >∧0 g x ( ) Solf x) >∧0 g x ( ) >∧0 f x ( )< :( log () d) f x () > () > log f x () > () > g() g x ; d) ess equivalente a f(x) > g(x) log f x ess equivalente a f(x) > g(x) g x ; () ex ; ss equivalente a f(x) > g(x) log f x log g x ; log () d) logd) log f x () > log () ess equivalente a f(x) > g(x) correctos, aquí el enlace. log () d) ess equivalente a f(x) > g(x) a d) g x ; loga a lynk.ec/13mtc03 log f x () > a ess equivalente a f(x) > g(x) d) a g x ; a a a a a g x) >∧ Solf x) >∧ f x) > a ( ( a :( g x). f x) > g x) > 0 ( g x) >∧ f x) >∧0 ( 0 ( Solf x) >∧ g x:( Solf x) 0 0 g x) >∧ 0 f x) > g x) ( ) ( :(>∧0 g x) ( ( g x) >∧ Solf x) >∧ ( g x) ( :( 0 0 ( ( 0 :( 0 ( f x) > ( g x) Solf x) >∧ g x) >∧ f x) > Solf x) >∧ ( ( :( ( 0 Caso 2: si 0 < a < 1. y y  n ∈⇒ log x () >⇔ ng () n n n n < n n > x () >⇔ xa⇔ ; 0<  log lo y a) Si a) Si x a <1 n ∈⇒1 a <1 x 0 a; 0< <0 x 0 > x log x () n a) Si xa > x () >⇔ xa>⇔ < y n n n y x 0 ;0 ; 0< a 0< <1 a a) Si x) Si n∈⇒ log∈⇒ < > a <1 a xa  > n < n∈⇒ a a) a) Si x 0 > ; 0< y n∈⇒ loga a a x () >⇔ xa < n n a ; 0< a <1  x () n <⇔ n x > > log x () <⇔ n n n a x a a <1 y n∈⇒ ; 0< a <1 y n∈⇒ log log b) Si b b) Si > 0 a; 0<> 0 x) Si > 0 x n ; 0< <1 y n∈⇒ x () <⇔ > x x () <⇔ > > x x x b) n n n a b) b) Si > 0 ; Si > 0 ; 0< a 0< <1 y n∈⇒ log x () <⇔log a x () <⇔ > x a n a <1 y n∈⇒ a x a a <1 y n∈⇒ x a x a n b) Si > 0 ; 0< loga a f x () g() a c) f x () g(x) g x (); es equivalenx (); (); es equivalentte a f(x) > g(x) t te a f(x) > g(x) c) c) log logc) log f x () g(x) Propón ecuaciones es equivalentte a f(x) > g(x) a a a log f x () g(x) a a a Solf x) >∧ g x ( )>∧ >∧ g x ( ) >∧ x ( )>∧ >∧ :( 0 x) 0 0 x) 0 Solf x) :( 0 0 g x ( ) >∧ f x ( )>∧ 0 f f f x ( ) > g x ( )> x ( ) > g x ( ) exponenciales o g( Solf :( g x ( ) f x ( ) > g x ( )> Solf x) >∧ g x ( )>∧ 0 0 :( x) 0 Solf :( g x ( ) g x ( ) >∧ Solf x) >∧ f x ( ) > 0 0 g x ( ) :( g() d) f x () > x () > g ; log f d) logd) d) log f x log log gx () es equivalente a f(x) < g(x) logarítmicas y verifica log gx ;gx es equivalente a f(x) < g(x) g ; ; () es equivalente a f(x) < g(x) ; g d) logd) log f x () > log gx () es equivalente a f(x) < g(x) si tus soluciones son a a g f x () > () > a a d) log f x () > log gx () es equivalente a f(x) < g(x) log gx () es equivalente a f(x) < g(x) ; a a a a ga a Solf So a :( ) >∧0 ( )g x >∧0 )x >∧0 g 0 ) (x) ) f x)) ) ( )gx ( )< gx correctas. a ( g ( ) >∧0 (f x)< (x >∧0 :( :(lf Solf )x >∧ x ( f x)< gx x ( ) ( f x)< gx ( )< gx g ( )x >∧0 ) Solf :( )lf x >∧0 So :( ) >∧0 g ) x ( ) ( ) >∧0 ( ) x x ) :( ) >∧0 Solf x g ( ) >∧0 f ( f x)< gx A cción y expresión Ejemplos paso a paso 1. Resolvamos la inecuación logarítmica. ( g 2x − log x + 3) > lo ( 1) 3 2 Paso 1. Identificamos a qué caso corresponde. 3 ( 2 ( Como la base a > 1, 2 > 1, se trata del caso 1, log x + 3) > lo g 2x − 1) literal d). 30; Paso 2. El argumento de los logaritmos debe x +> x >−3 ser positivo. Escribimos las desigualdades y 2 x −> 0; x >1 2 / 1 resolvemos. x3 − ; x < 4 +> 2x 1 Paso 3. Graficamos en la recta numérica y buscamos la intersección de las tres inecuaciones. S = ½ < x < 4; S = (1/2, 4 ) −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 6 2. Resolvamos la inecuación. log ( 5x + 10) > lo g ( x + 2) , 05 , 05 Paso 1. Identificamos a qué caso corresponde. Como la base (0,5) está entre 0 < 0,5 <1, se trata log ( 5x + 10) > lo g ( x + 2) , 05 , 05 del caso 2, literal c). > Paso 2. El argumento de los logaritmos debe 5x + 100; x >− 2 ser positivo. Escribimos las desigualdades y x +> x >− 2 20; resolvemos. 2; x 5 +x110 >+ x >− 2 Paso 3. Graficamos en la recta numérica y buscamos la intersección de las tres inecuaciones. S = x > –2; S = (–2, +∞) −2 −1 0 1 2 3 4 5 6 7 Matemática 31 3.º BG 21/8/25 12:30 Matematica 3 BG Cultiva.indb 31 Matematica 3 BG Cultiva.indb 31 21/8/25 12:30]]> x 0 x 0 > x ≥ 5 _____________________________________________ c) Entre 10 y 30 minutos de duración x ≤ 30 x 10 ≤ x ≤ 30 10 ≤ ≤ 30 x x x _____________________________________________ d) Más de 500 gramos de mantequilla b) b) 0 ( b) 0 ( x 2 ,5) ≤( ) x + 3 x + 3 ,5) ≤( ) x 2 , 0 25 2 x > 500 _____________________________________________ , 0 25 2 x 6> x 6 > e) Exactamente 500 dólares x = 500 _____________________________________________ f) La temperatura estuvo entre 18 y 40 grados centígrados. x 5 x 5 + +  x 2 c) c) 0 ( c) 0 ( ,25)  x2 1  1  ,25) <   <   x x x x x 18 ≤ x ≤ 40 18 ≤ _____________________________________________  4  4  ≤ 40 ≤ 40  > > 2. Resuelve las inecuaciones exponenciales. Utiliza x 5x 5 el caso 1. 4 x 3 + 5 a) a) 2 a) 2 > x 3 + 4 5 > x 2 + 4 x 2 + 4 x <− 3 3 x <− 4. Pasa a notación exponencial y determina la solu- ción de la ecuación. a) e > 21 x b) b) ( ) 2 ( ) > 8 x 1 x − 33 4 4 x − 33 x x > ln(21) + 2 x 1 8 2 + 4 2 > b) 4 ln ln ln > > > > (21) (21) (21) (21) (21) (21) (21) (21) (21) x x x x −< < x 4 2 x 4 −< < 2 2x b) 2 < e + 1 < 5 + + c) c) x 1 c) x 3 8 < x 3+ x 1− < x 2 + 32 x 2 + 5 ln(2) – 1 < x < ln(5) – 1 5 8 x 1+ 32 x 1− x <− x <− 1 2 2 1 c) 2 > 13 x )( d) d) 43⋅ ( d) 43⋅ ( x )( 92 ) <( x 32 6 x 2 x x 2 x x x x x x x x x x x x > log (13) 92 ) x x ⋅ ) ⋅ ⋅ ) 32 6<( x ⋅ (13) (13) (13) (13) (13) (13) (13) (13) (13) > > > > > > > > > > log log log log log log log > log log x 4> x 4 2 2 2 2 > 32 Matemática 3.º BG 21/8/25 12:30 Matematica 3 BG Cultiva.indb 32 21/8/25 12:30 Matematica 3 BG Cultiva.indb 32]]> ⇒ x > 2 20 les a) y b). log 2 ( x 5− ) > 2 Paso 2. Como la base es 0 < 0,5 < 1, transformamos a notación exponencial y se invierte la desigualdad. 3 Paso 1.El argumento del logaritmo debe ser positivo. log ( x 2− ) >⇒( x 2− ) <( , 0 5) 3 3 5 , 05 5 0 2x −> ⇒> ⇒< ,125 x x 2 2 Paso 3. Graficamos y buscamos la intersección. Paso 2. Transformamos a notación exponencial y resolvemos la inecuación. ( 2 x log 2x − 5) > ; 22x − 53 ⇒ > 7 1,941,96 1,98 2 2,02 2,04 2,06 2,08 2,1 2,12 2,14 2,16 2,18 2,2 2,22 > 3 Paso 3. Graficamos y buscamos la intersección de las soluciones. Solución: 2 < x < 2,125 a) a) log ( x 1) ≤− 1 1 + a) log ( x 1) ≤− + , 01 ≥ x 9 x 9 , 01 ≥ 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 Solución: x > 7 a) a) log () < x 1 1 x a) log () < 7 7 0 << x 7 b) a) log ( x 1) ≤− 1 2 + x 7 0 << b) log ( 5− x) < , 01 , 02 ≥ x 9 x 496 < , b) b) log ( x 3) > 4 4 − 2log ( − x 3) > b) > x 19 > 2 x 19 a) log ( x 1) > log () + 4 , 05 , 05 Actividad cooperativa a) log ( x 1) > log () + a) log ( log () 4 x < −< + 4 1 , 05 3 x 1) > , 05 , 05 , 05 a) log ( 7. Resuelvan en sus cuadernos, y en parejas, las si- log () + x 1) > 4 a) log ( log () 1) b) log ( −< log () 1 + x 1) > , 053 4 x < −< x 2 − > 1 , 053 9 , 05 x 1) ≤ 1+ ) c) c) log 2 (g ( + x2 2 2≤ guientes inecuaciones con logaritmos. x < x 1) > log () , 05 c) lo a) log ( , 01 , 01 4 + a) log ( log () 5 −< , 05 3 1) x < b) log ( x 1) > + 1 log () 4 5 log () b) log ( 1) −< x < , 053 1 ≥ 9 , 05 1 1 a) a) log ( x 2 − > log () x 5 , 01 x 2 − > , 05 , 01 9 , 01 , 01 + 1) x 3 1 b) log ( 4 − − ≤ ≤ b) log ( x 1) > log () −< < x 2 − > log () −< x < x 12 x 12 , 05 3 9 1 1) x 2 − > ≥ 9 x 5 , 05 ≥ 2 , 01 , 01 2 2 x 5 , 01 , 01 c c) log ( 7− x) < log () log () 1) , 03 , 03 x 2 − > 9 b) b) log ( 7− x) < log () b) log ( 7− x) < log () x 3 log () 1 1) −< < ≥ c c) log ( x 2 − > x 5 9 c c) log ( ≥ 2 , 01 x 5 , 01 < 2 x 5 , 01 , 01 , 03 , 03 b) log ( 1) log () , 03 , 03 ≥ x 2 − > c c) log ( x 5 9 ≥ c) c) log ( 7− x) < log () d) log ( 7− x) < log () x 3 + 7) x 5 2 log ( 1) < x 5 c 2 x 5 − < , 01 , 01 < x 5 , 03 , 03 , 03 , 03 , 04 , 04 ≥ 2 x 5 log () c c) log ( < d) log ( log ( 1) x 5 2 x 5 − < x 5 log ( d) d) log3 ( x 2) ≥ 1 1 d) d) log ( 7− x) < log () x 3 + 7) c c) log ( 7− x) < log () x 3 + 7) 1) < , 03 , 03 x 5 − < 4 x > 4 − , 03 d) log3 ( , 03 − x 2) ≥ , 04 , 04 c c) log ( , 04 , 04 < d) log ( x 5 log ( 1) x 5 − < < 1) x 5 x > 4 4 x 5 − < , 03 , 03 x > 4 ≥ 4 x 4 x 4 d) log ( 7− x) < log ( 2 x 3 + 7) e) ln( x + 2) < ln( 5x − 1) , 04 x 3 + 7) , 04 ≥ , 04 , 04 log ( d) log ( 1) 7) < x 5 − < 1) d) log ( x 5 x > 4 4 e) ln( 1) ln( 4 Indaguemos x 5 − < log ( x 3 + 7) e) ln( x + 2) < ln( 5x − 1) , 04 x 3 + x > 4 , 04 2) < 3 5x − x + , 04 , 04 x > 7) d) log ( log ( 1) x 5 − < 4 e) ln( x > 4 4 x 3 + ln( 2) < 5x − x + 1) 4 ln( x > 4 2) < 5x − 3 x + , 04 , 04 8. El nivel de intensidad sonora se mide en decibeles (dB). log ( 1) x + 4) x > e) ln( 3 x > f ) log ( 1) 4 2x − ≥ ln( 1) 2) < x > 44 x + 1) ln( e) ln( 4 x + 2) < 5x − 3 5x − 3 e) ln( 3 x > 3 f ) log ( 1) x > Un trabajador no debe estar expuesto a más de 90 log ( x + 4) 4 2x − ≥ f ) log ( 1) 4) log ( x ≥ 4 2x − ≥ x + 1) 5 ln( 2) < x + 3 3 3 x > 3 e) ln( 3 x > 4 2x − ≥ f ) log ( 6. Observa el ejercicio resuelto de inecuaciones loga- dB en una fábrica. 5x − 3 x + 4) f ) log ( 1) log ( x + 4) 1) log ( 5 4 2x − ≥ x ≥ 5 x ≥ 3 3 3 3 3 x > 1) rítmicas, luego resuelve aplicando el caso ii litera- Indaga: ¿qué precauciones deben tener los traba- log log ( 2x − ≥ 3 ( x + 4) log ( f ) log ( 4) f ) 1) x ≥ 5 4 2x − ≥ x + 5 x ≥ 3 3 3 les a) y b). jadores de una fábrica para que no les afecte la in- f ) log ( 1) 4) log ( x ≥ 2x − ≥ x + 5 x ≥ 3 5 log ( x 2− ) > 3 tensidad sonora de las máquinas? 3 , 05 x ≥ 5 Matemática 33 3.º BG 21/8/25 12:31 Matematica 3 BG Cultiva.indb 33 21/8/25 12:31 Matematica 3 BG Cultiva.indb 33]]> x se demuestra que f(x ) > f(x ) 2 2 1 1 d) Calcula t, tal que S(t) = 1. 800 6,66 horas 6,66 horas 6,66 horas 6,66 horas 6,66 horas 6,66 horas 6,66 horas 6,66 horas 6,66 horas 6,66 horas 6,66 horas 6,66 horas 6,66 horas 6,66 horas 6,66 horas 6,66 horas 6,66 horas 6,66 horas 6,66 horas 6,66 horas 6,66 horas 6,66 horas e) Determina el intervalo en el que S(t) ≥ 500. [1, 2] 6. En química, el pH de una solución se mide usan- f) Si fueras el gerente de producción de esta do la escala logarítmica. El pH se define como el empresa y conoces que la demanda de este logaritmo negativo en base 10 de la concentra- producto se va a incrementar de manera sig- ción de iones de hidrógeno (H ) en moles por litro. nificativa, ¿qué decisión tomarías: adquirir + + pH =−log 10   H  . un producto similar o comprar más materias  primas para hacer frente a esta emergencia? Como se explicó en páginas anteriores, una solu- Justi ca y sugiere otras alternativas. ción es ácida si su pH es menor que 7; alcalino si es mayor que 7; y neutra si es igual a 7. 8. La función de ventas semanales de cacerolas está definida como: 2 t S(t) = 150 + 200 , t ≥ 0. 5 a) Representa gráficamente esta función. t ©Shutterstock b) ¿A partir de qué semana se tiene 2 000 2 < 1? 5 O sea, ¿a partir de qué semana ya no se venden las 150 cacerolas? La función converge a 150, por lo tanto, la venta ¿Cuál es el rango de concentraciones de iones H + a partir del primer año es 150 cacerolas. para que una solución sea ácida? Indaguemos  1  9. Ingresa a internet y averigua cuáles son las aplica- log 10  +  < 7 P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P ara que una solución sea ácida, ciones de las funciones exponenciales y logarítmi- ara que una solución sea ácida, ara que una solución sea ácida, ara que una solución sea ácida, ara que una solución sea ácida, ara que una solución sea ácida, ara que una solución sea ácida, ara que una solución sea ácida, ara que una solución sea ácida, ara que una solución sea ácida, ara que una solución sea ácida, ara que una solución sea ácida, ara que una solución sea ácida, ara que una solución sea ácida, ara que una solución sea ácida, ara que una solución sea ácida, ara que una solución sea ácida, ara que una solución sea ácida, ara que una solución sea ácida, ara que una solución sea ácida, ara que una solución sea ácida, ara que una solución sea ácida, ara que una solución sea ácida, ara que una solución sea ácida, ara que una solución sea ácida, ara que una solución sea ácida, ara que una solución sea ácida, ara que una solución sea ácida, ara que una solución sea ácida, ara que una solución sea ácida, ara que una solución sea ácida, ara que una solución sea ácida, ara que una solución sea ácida, Para que una solución sea ácida, ara que una solución sea ácida, ara que una solución sea ácida, ara que una solución sea ácida, ara que una solución sea ácida, ara que una solución sea ácida, ara que una solución sea ácida,  H  la concentración de iones H la concentración de iones H la concentración de iones H la concentración de iones H la concentración de iones H la concentración de iones H la concentración de iones H la concentración de iones H la concentración de iones H la concentración de iones H la concentración de iones H la concentración de iones H la concentración de iones H la concentración de iones H la concentración de iones H la concentración de iones H la concentración de iones H 1 < 10 7 ; la concentración de iones H + + cas en contextos reales. Busca tres de cada tipo de función y emplea una IA para realizar una presen- or que 10 or que 10 or que 10 or que 10 or que 10 or que 10 or que 10 or que 10 or que 10 or que 10 or que 10 or que 10 or que 10 or que 10 or que 10 or que 10 or que 10 or que 10 or que 10 or que 10 or que 10 or que 10 or que 10 or que 10 moles moles moles moles −7 or que 10 or que 10 or que 10 or que 10 or que 10 or que 10 or que 10 or que 10 or que 10 or que 10 or que 10 or que 10 or que 10 or que 10 or que 10 or que 10 or que 10 or que 10 or que 10 or que 10 or que 10 or que 10 debe ser ma debe ser ma debe ser ma debe ser ma debe ser ma debe ser ma debe ser ma debe ser ma debe ser mayor que 10 moles debe ser ma debe ser ma debe ser ma debe ser ma debe ser ma debe ser ma debe ser ma debe ser ma debe ser ma debe ser ma debe ser ma debe ser ma debe ser ma debe ser ma debe ser ma debe ser ma debe ser ma debe ser ma debe ser ma debe ser ma debe ser ma debe ser ma debe ser ma debe ser ma debe ser ma debe ser ma debe ser ma debe ser ma debe ser ma debe ser ma debe ser ma debe ser ma debe ser ma debe ser ma debe ser ma debe ser ma debe ser ma debe ser ma H + debe ser ma y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y or que 10 −7 moles tación con la información. o o o o o o o o o o o o o o o o por litro. por litr por litr por litr por litr por litr por litr por litr por litr por litr por litr por litr por litr por litr por litr por litr por litr + H > 10 − 7 por litr o . . . . . . . . . . . . . . . . . Matemática 37 3.º BG 21/8/25 12:31 Matematica 3 BG Cultiva.indb 37 21/8/25 12:31 Matematica 3 BG Cultiva.indb 37]]> log ( x 4) _____________________________________________________ + Respuesta abierta a)log ( x 2 − > log ( x 4) 1) + , 05 , 05 1 << 1 , 05 , 05 x 5 x 5 2 << Pienso 2 ¿Qué análisis puedes hacer de la gráfica? Respuesta abierta _____________________________________________________ _____________________________________________________ b) b)ln( x +2 ) > 8 x b)ln( +2 ) > 8 xe>−2 Me pregunto xe>−2 ¿Qué pasa con los alimentos que son recalentados? _____________________________________________________ Respuesta abierta _____________________________________________________ Metacognición para aprender Responde en forma oral o escrita. ¿Qué métodos puedo utilizar para graficar funciones exponenciales y logarítmicas? ¿Qué estrategias empleo para resolver ecuaciones exponenciales? ¿Qué estrategias utilizo para resolver ecuaciones logarítmicas? ¿Cómo aplico mis conocimientos sobre funciones exponenciales y logarítmicas en situaciones cotidianas? Matemática 41 3.º BG 21/8/25 12:31 Matematica 3 BG Cultiva.indb 41 21/8/25 12:31 Matematica 3 BG Cultiva.indb 41]]> 2 x→ b) lim ffx()+gx()+ ffx()+ ()] = x→ lim ffx()+ gx()] = 5 5] = 5 gx() c[ [ffx gx()] = 5 _________ x→c→ c→ c x→ c 3 y x x c) lim( [ lim( [ )( )( )( 3 3 3 3 3 3 fx gx)] = 6 3 3 3 x→ c) lim( [fx gxlim( [lim( [ c) fx gx)] = 6 fx gx)] = 2 )] = 6 6 6 6 6 lic) c[fx)( )] = c c) c) c) x→ fx gxm( )( gx)( )] = _________ 2 x x fx ()   x→c→ c→ c x→ c 3 2 2 2 2 2 fx ()   fx ()   fx ()   3  = () fx () d) lim lim   fx 3 1 3 3 3 d) gx ()  limd) c d) d) x→ limd) lim c      gx ()   = 2  =  x→ lim d) 2  = = = _________  gx ()gx  gx () () x→c→ c→ c x→ c        2 2 2   2 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 x gx ()   x x    –1 3 1 3 5. 5. lim( )fx = ; lim( ) = 1 1 –2 5. lim( ) = 3 3 3 gx 3 ; lim( ) = 1 1 1 gx fx 2)= = c 5. lim(fx) x→ 5. lim( )fx = = ; lim(fx lim( )fx x→ ; lim( )gx = = )gx= x→ ; lim( 2 c ; lim(gx)gx 2)= 5. lim( x→ 5. 2 c c 2 c x→ c x x x x x→c→ c→ ( )] ( )] [4 a) lim fx = 6 2 2 2 x→c→ c→ c x→ c 2 2 2 2 a) a)lim f x() = 3 ___________ [4 6 a) a) lim fx = 6 _________ 3 c a) lim[4 ( )fx ] = ( )]( x→ a) lim[4 a) lim[4 x→ a) lim fx = 6 6 )fx ] = 6 c[4 ( )fx ] =6 [ c x→ x→c→ c→ x x x→0 f xim () = 3 a)l b) lim fx ()+ c gx ()] = 2 a)l x→0f xim () = 3 [ b) lim fx ()+ gx ()] = 2 x→c[ [fx[ b)lim No existe 2 ()] = ()+ c b) lim fx ()+ x→c b) lim fx ()+ gx ()+gx()fx () b) b) lim b) c[lim gx ()] = 2 _________ b) b)l x→0 f x() = No existe gx ] = 2 2] = 2 No existe x→2f xim () = ___________ x→c x→c c c c c 3 b)l x→2 f xim () = No existe x→c x→c [ fx gx)] = [ c) lim( )( 3 3 cf)( ) = 32 →2 fx gx)] = 3 3 3 x lim( )( c) c) c) [lim( [ 4 = c) cf)( ) = 32 ___________ x→ fx gx)] gx)] cf)( ) = 32 c c) lim( [fx gxlim( )( )] = = c) c) c[fx)( fx)( x→ lim( )( gx)] = _________ 3 4 4 4 x→ x→c c x→ c 4 4 x→ c  fx()  fx ()   = 3  d) lim  lim fx ()   ()    fx ()  ()fx fx = 3 d)  = = = 3 gx() d) lim  = 3 3 3 _________ x→ lim lim d) d) c d) lim d) c c gx () ()  3 Indaguemos  x→       gx ()     gx ()gx gx ()  x→             c x→ x→c c→ x 10. Indaga qué otras aplicaciones tienen los límites. Matemática 3.º BG 21/8/25 12:31 Matematica 3 BG Cultiva.indb 47 Matematica 3 BG Cultiva.indb 47 21/8/25 12:31]]> 2  determinemos los valores de a y b que aseguren la existencia de los límites: fx lim( ) y lim () Socioemocional fx x→−1 x→2 Paso 1. Para que lim( )fx exista, deben Paso 2. Para que lim( )fx exista, deben existir La constancia es como un x→−1 x→2 músculo que se fortalece existir los límites laterales y estos deben ser los límites laterales y estos deben ser iguales. con cada desafío iguales. superado. En cada paso fx fx lim( ) = lim () lim( ) = lim () x→2 − x→2 + persistente hacia nuestros fx fx ( ( 2 1 x→−1 − x→−1 + lim x + ) = lim bx + ) 6 objetivos, encontramos ( ( lim ax + ) = lim x + ) 1 x→2 − x→2 + el camino hacia el éxito 2 5 x→−1 − x→−1 + 41 b + 6;; b = −1 y la realización personal. += 2 a 5==+11; a −+ = 3 2 ¿Qué logros podrías alcanzar si mantuvieras la constancia incluso U nidad de conocimientos cuando no ves resultados inmediatos? Límites con indeterminaciones de la forma 0/0 0 Si al evaluar un límite obtenemos se trata de una forma indeterminada, la cual se 0 evita factorizando, racionalizando la expresión o efectuando operaciones algebraicas adecuadas. Resolvamos algunos ejemplos paso a paso. 2 2 x −25 x − 4 x + 4 3. lim 4. lim x→−5 x +5 x→2 x −2 Paso 1. Evaluamos el límite. Paso 1. Evaluamos el límite. Matemática −+ 4 2 (−5 ) −25 0 48 0 detminado er er detminado lim == in indeterminado lim == in indeterminado − ) 5 x→−5 (−+5 0 x→2 22 0 Una indeterminación es Paso 2. Factorizamos el numerador y Paso 2. Factorizamos el numerador una expresión que no se simpli camos. y simpli camos. puede evaluar directamente y cuyo valor ( x − ) ( x + ) 5 ( x − ) 2 2 no está definido. Son 5 lim lim = lim(x −2 ) x→−5 x +5 x→ x −2 x→2 2 indeterminaciones: ( 22 lim x − ) =−5 10 =−= 0 0 ∞ x→−5 , ,∞−∞ 0 ∞ 0., ∞ 0 1 ,,∞ 0 ∞ 0 x +−32 6. lim x racionalizamos y 5. lim racionalizamos y x→0 x x→1 x −1 1 +−1 evaluamos. evaluamos. x +−32 0 x 0 lim = = indeterminado lim = = indeterminado x x→1 x −1 0 x→0 1 +−1 0  x +−  x +332+   x   1 ++1 32 x lim    lim    x→   x −1  x ++   x→0   1 +−    1 + x +1   + x 1 32  1  x − 1  1  x ( ++ ) 1 x 1  lim   = lim   = 2 3 2) x x → 1 ( − ( 1)x ++  4 x →0  x      Matemática 3.º BG 21/8/25 12:31 Matematica 3 BG Cultiva.indb 49 Matematica 3 BG Cultiva.indb 49 21/8/25 12:31]]> 0 lim( ) = 5 )fx = 5 f x→2 5 x→2 5 fx 2 ( ) = 5 2 ( ) = 5 f lim( 5 lim( ) x→2 f ( ) = 5 f ( ) = 5 ______ ______ 2 5 5 ______ ______)fx lim( 4 2 5 x→2fx = 5 = 5 y x→2 x→2 6  4  4 c) cf x) =  x , si x < 1 )( 2  2  3 x +1 , si x ≥1 –8 –6 –4 –2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 x lim ()= 4 ____ = = = = = = no fx fxim ) 4 fx fx fx l ) () m( li li lim( )= −4 −4 m( l fx li im exist –4 4 4 −–4 e ) li fx–4 ____ m( lim( ) no existe existe ) fx –2 xlim( lim( )fx = xlimlim lim + =() x→−11 x→−1 )fx = )fx =4 lim( )fx =4 fx m( no ____ ++ ()fx ()fx()fx = x lim( x→−11 x→−1 )fx = −4 −4 no existe e x→−11 x→−1 = 4 = no exist −− lim( )fx = −4 no existe →−lim( − →− →− = = lim( x x lim( lim(fx4 lim( ) no x x()fx ()fx ()fx limlim lim no existe existe x x lim( )fx = −4 x→−1→−1 →−1= 4 = 4 − − − + –4 x→−1→−1 →−1 )fx = −4 lim( )fx = −4 + + + x→−1→−1 →−1 )fx =)fx = no existe lim ()= 4 lim( =4fx= fxfx = 4fx l l ()im ) fxfx m( im ) lim( )= 4 4 x→−1 x→−1x→−1 + lim( )= 4 li m( fxfx =() ) − − lim( )= 4 4fx= 4 x→−1 x→−1x→−1 + − li x→−1 x→−1x→−1 4 x limlim x→1() li x→1fx lim( x→11 fx = 4 ____ lim( )= 4 lim( )= 4 ++ fxfx() x→11fx = 4 )= 4 lim( )= ____ −− + → − → –66 x lim( ) fx fx lim ()()fx= x→11 ()= 4= 4 ____ lim fx = 4 4 xm( ) fx 4 4 → x→1 lim(m( fx= = lim lim( fxfx lim( fx fxfx lim lim( fxfx4 li x→1x→1 x→1 )= 4 )= 4) 4 x→1x→1 x→1= 4= () 4 x→1x→1 x→1 )= 4 )= 4) 4 lim( + + − − + − limm( fx limm( fxfx lim () fx fx no existe no existe − + x − − lim ()=13 lim( )=13 fx =13 →1x→1 x→1 + limm( )=2 lim ()=2 )=2 →1 x→1 –8 x→1x→ fx)=fx x→1x 1 x→1 + lim( )=no existe fx lim( ) = no existe ++ fx ()=1 = x→2= x lim fx() x→22 lim ()=13 3 lim( )=13 → lim( ) fx x limm( ) fx x→22 limm( )=2 2 lim fx=2 x lim( ) no existe −− fxfx = ) x→22fxfx =no existe → limm( − + x→2 x→2 → limm( fxfx x→2x→2 x→2 ()=13 3 lim( fxfx =no existe limm( limm( )fx lim fx ()=1 ____ fx lim( )=no existe ____ lim fx= ) 2 x→2x→2 x→2 )=no existe fx=13 e No existe No exist No exist − + + –10 x→2x→2 x→2 )=2 2 =2 + lim ()13 lim( ) ____ e − − = = = ( f −−= −1)−−= −1) ( f −−=1) 4 − − 4 x + 1) + = 4 f( f x→2 f 4 2 ) 13 ( =13 =13 2 4 ff f ) 1 4 ( + − − 2 ( )) x→2 x→2 ( f x→2x→2 x→2 1 ( ) ( x→2 x→2 →2 =13 4 ( f −−= −1) ( f −−= −1) ( f −−= −1) 4 f 1 ( ) 1 4( )f 1 4( ) ( 1 = ) = 4 2 ( ) 2( )f =13 =13 = 4 f f =13 =2 13( )f 4 = =13 − ) ( f −−= −1) ( f −−= −1)( f −−=1) 4 f 2 ( 4 f = 4 f f 1 ( ) 1 4( )f = 4 2 ( ) 2( )f Determina: 4. A partir de la grá ca determina si existen o no los f x() = −5–5 _______ f x() = a) a)lim f x)lim () = −5 −5 siguientes límites. a a)lim x→−1 − − − i) y x→−1 x→−1 fx) = −5 −5 _______ fx) lim( lim( fxlim( ) = = −5 –5 5 x→−1 + + + x→−1 x→−1 fx) = −5 −5 −5 –5 lim( _______ 4 lim( fxlim( ) = = fx) x→−1 3 x→−1 x→−1 f x() = −6 _______ b) b)lim f x)lim () = −6 −6 –6 2 b b)lim f x() = x→ −− − x→00 →0 1 x lim( lim( fxlim( )) = 3 3 fx 3 _______ _______ fx) = 3 = 3 _______ x→ ++ + x x→00 →0 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 x no existe lim( fxlim( fxlim( no existe e –1 no existe No existe No exist fx) = ) = ) = ________ x→ x→00 →0 –2 x 2. Gra ca la función por partes en GeoGebra y calcu- –3 3 3 la los límites. a a f x()x() = == ____ −3 a)a)lima)lim () f x)lim f x)lim () = −3 f x)lima)lim f x() = −3 lim(f x() = −3 lim(= −3 f x = –3 lim( ) = ____ lim= 3 l lim() () = −3 −3 –3 f x) = −3 im f x) = −3 −3 f x) −3 f f lim f xlim () = −3 f x() lim( f xlim( ) = lim ()=xlim( ) −3 a f x() = −3 −3 3 x −–3 − ____ − 3 = x , 3 x +5 si x < −1 a x x→0 f xim () = −3 f xim () = −3 f xim () = −3 x→0x→0 f − − − x→ x→0 x0 f + + + x→ x→0 x→0 0 l lim x→0f xim () = −3 f x() = −3 f xlim () = −3 a )l x→0 f xlim( ) = −3 f xm( ) = −3 f xlim( ) = −3 a)l)l 0 li →0→ x x→0→0 x − x→ x→0 x + − − →0 + + →0 0 x→00 f xim () = −3 f x() = −3 −3 x→00 f xim () = −3 f x() = −3 x a)lim + + + f x) = −3 − − − f x() = −3 )l x→00 f xlim( ) = −3 f xm( ) = −3 a a)lim  b)lim b)lim fx x lilim( 1 x→0x→0 →0 lim fxlim =1 xl lim f xlim () = → → → x → → 0 → x 0 0 x )l b)lim fx =1()fx =1() fx =1() fx =1() =1()fx =1() fx =1 im fx=1) fx =1) =1)fx) lim(fxlim( x→0x→0 →0 lim( fxlim( xlim fx =1 =1() fx =1() =1()fx =1() xlim( b b)limim lim( ) limfx() b)lim + − + + − − , 2 x→ x→0 x→0 0 fx () =  x +1 si -1 < x < 2 b) b)limb)limb)lim − − →2 − x→ x→2 x2 fx + ) = l lim () = 1 ____ x→2 fx =1m( )fx =1m( )fx =1lim( ) 1 1 x x→2 fx =1()fx =1()fx =1() 2 l x→2fx =1im ()fx =1()fx =1lim () 1 lim ____ + + − − x x→ x→2 x2 − → + li li x→2 → x →2x ____ x→2x→2 x x→ x→2 x→2 x x x x + + →2 x x→22fx =1()fx =1() =1() 2 → fx() x x b)lim + + + fx) im im )l b)lim li  6 − x, si x > 2 b c)l)l x x 2 → 2 − − − − fx x x→22 fx =1lim( )fx =1m( ) =1lim( l xl l x→22 fx =1im ()fx =1() =1im no existete 2 → x → → → 2 x c)lim fx()=fx() = 2fx() = 2fx() = 2fx()fx() x lim fx()==fx() =fx() = no() =fx() s c t = 2 lim(fxlim( x→2x→2 →2lim( fxlim( = 2 t fx)== 3) = 3fx) = 3)fx) ximim = 3 im lim x→2x→2 →2lim fxlim = 3 no existe exi l t te t no no existe fx t 3 2 s lim( exi c)lim = no existe  c)lim c)lim − = 2 →3x x lim( + ) = 3 x limfx() = no existete t + − − + + x x→ x→2 2 x x→2 s te c)limim c →3 fxm( )=fx)fxm( ) t t t 2 no x → →3x liml im exi no = 3 3 = 2 →3fx()=fx()fxim () = )l s xlim x→33 x→3 fx()=fx()fx() exi + + − →3→ − − − + → x )l x 3 →3x3 → c x→3→3 → x → →3x li lim(li x3x → − + + →3 → x→3 → x→ → x→ lim( →33 fx()=fx() =fx() = no existe te 3 ____ 3 li x exi 3 l xlim x→ lim c)lim x→3→3→3fx()=fx() = 2fx() 2 t = 2 s no no existe ____ 3 2 ____ No existe No exist e + + + → 3 x → → x x = = x → →3xlim( f d)l x → →3xlimlim f x() = 5 _______ f x() x→33 →3 f x x) = 5 x) x lim () = 5 lim () f x () = x ()5 f x) = 5 lim= 5 f x) = x) 5) = 5 d)lim () = 5 lim(= 5 d)lim () = 5 d)lim fd)lim x→ xim =5 5 = 5 f x() = 2 _______ →3lim(=lim( f x= f x () = 5 () 5 a) a)lim f x)lim () = 2 = 2 2 b) b)lim f x)lim () = 5 = 5 5 c)c)limc)lim → − − − − f x= 5 f x () f x x () = 5() = 5 lim(lim(f f xli x →33 fxm( )=fx) = 3fxm( ) = 3 im 3 → f lim ff x = == No exist t t e b b)lim f x() = a a)lim x d)lim () x + + + − − →3 → → → x x 3 = = x→4f x () = 5 () =lim () x→ x→4 xf x x→ x→4 f x + lim(x) = 5 f x→4 f x) = 5 f x) = 5 − x→4→4 f − − − −− f + + x − x4 4 limf x→4 x→−1 − x→2 − − dd x x→4 f x () = 5 f x () = 5im () = 5 li 4 lim(m( + lim = = =5 5 d)lim)lim)l →4x→ x→4→ x→2 x→ x→4 x4 x→−1 x x→−1 − − →4 + + →4 x→2 = 4 x→44 f x () = 5 () = = 5 → lim x→44 f x) = 5 f x) = 5 f x) = 5 =5 x→44 f x () = 5 f x () = 5 f x () = 5 xlim x f x () dd)lim x lim lilim( xlim(m( → − − − → → → x 4 fx x x ____ 1 1 1 0 ()== −30 () →4→4 →4 =0f() = −3 f=0 () 3 3 3 f0 () f xx x 0()f 2 =2 () =2()____ 3 3 3 =3 –3 3 f x→4x→4 →4=2()−3–3 ____ ____ ____ ____ ____ 3 ____ ____ 4 _______ fx) = 2 2 _______ lim( lim( fxlim( ) = = 2 2 lim( lim( fxlim( )) = 4 4 d) f d)lim)lim → 4 = −3 f()=1 f () =−3 f 2 f() + + + =1 f()==1 f x→4x→4 →4 3 f() = 31 f()=1 f() 4f = 3 3 fx) = 4 = 4 _______ fx) − _______ 3 () 3 f f () + − − − + + 2 x x =1 f()== − − = 0 ()= = 3 1 3 () 3 2 () 3 2 3 0 2 f f f () f 3 + ++ x→2 x→−1 + x→2 + + ff f 0()() = −3 f()=1 f f () 3 = 3 x→−1 x→2 x→−1 − 3 () = 3 f0() 3 2 3 = −3 f()=1 f 3 f() f 0 ()= = −30 () =1 f()= = 31 f() () 3 2 =2 no exist no existe e fx) = ) = ) = ________ lim( lim( fxlim( ) = 2 lim( fxlim( fxlim( no existee No existe fx) No exist fx) = 2 2 = 2 _______ x x→−1 x→−1 x→2 →2 ii) De acuerdo con el análisis de la grá ca y los x→−1 x→2 3. Dadas las siguientes funciones por partes, sin tra- límites calculados en el literal i) encuentra la zar la grá ca, determina los límites indicados. función por partes 2 , 2 3 x −1 , si x <2  x −3 si x ≤ 2 a) af x) =   x −1 si 2 < x < 3 )( ,   x +9 , si x ≥ 2 fx() =  x , ≤ ≤  2 x −3 si 3 ≤ 4 = = ___ li li li m( 11 11 li m( lim( ) =11 l im fx fx = ___ ___ lim( ) =111111 ___ ___  5, si x > 4 = 11 ) 11 ___ ) fx m( fx fx ) ___ fx fx fx l =11 11 11 11 lim () =11 ___ im () () =11 ___ 11 ) fx m(  + + + − − − x x x→2→2→2 x→2→2→2 x→2→2 →2 x x x x Matemática 3.º BG Matematica 3 BG Cultiva.indb 50 21/8/25 12:32 Matematica 3 BG Cultiva.indb 50 21/8/25 12:32]]> 2 c) lim c) lim = =  2 1 25 1 5 x→0 x x + +−5 x→0 x ++−5 x 5 25 c) lim c) lim = = determina los valores de a y b que aseguren la x x→0 x x→0 25 12 1 1 1 25 x +− +− 12 x +− x ++−5 5 d) lim x 12 = = = existencia de los límites: lim( ) y lim ()fx fx 1 d) lim = c) lim d) lim x − − +−12 4 4 4 1 x→−1 x→2 x x x −3 3 3 →3 1 5 x→0 x ++−5 x →3x →3x 25 d) d) lim = a = b = 1 c) lim x x +− +−1 x →3 1 x x+− = 4 1 _________________________________________________ 121 −3 12 x +− 12 12 x→0 d) lim d) lim d) lim x x d) lim == = 25 = −3 12 x 3 +− x x − x −3 41 x x →3 →3 x →3 −3 12 4 x →3 4 x x +− 4 1 7. Resuelvan e interpreten la solución del siguiente = d) lim d) lim = 12 −3 4 1 −3 12 x →3 x x+− x →3 x x +− 1 4 problema. = d) lim d) lim = x →3 x −3 x →3 4 1 1 1 x −3 1 1 1 4 La velocidad permitida v(x) en (km/h) en la función x +− 1 − − − de la posición x (en km) a lo largo de una carretera 12 d) lim = e) lim 3 + + 1 3 3 3 = = = −1 −1 −1 + x x x 1 3 3 e) lim − e) lim −3 12 →3 x x = d) lim x +− 1 1 4 1 1 x →0x →0x →0 3 1 x x x 3 1 9 9 9 −1 está dada por: + x 1 1 1 − 4 x →3 x −3 − − e) lim x − = 9 −1 80 , si x < 5 −1 →0 x 3 + x 3 3 e) e) lim == e) lim e) lim e) lim 3 3 + x1 + x31 = −1 3 −1 + x 1 − 3 1 =  − , x + x 1 →0 3 x x →0 →0 x →0 x x 3 1 9 x 9 −1 9 3 1 x 3 9 −1 vx() =  60 si x = 5 + x 1 = e) lim − e) lim − =  9 x 9 −1 x →0 3 + x 3 x →0 3 + x x 3 −1  40 , si x > 5 = e) lim e) lim = x 2 2 2 9 x →0 1 − 1 x x →0 9 ( x ( x ( x +∆ ) − x+∆ ) − x+∆ ) − x 2 2 2 Analicen los límites laterales de v(x) cuando x se x x x f) lim f) lim + x f) lim x ∆x→0( 2 e) lim 3 1 − 3 1 = −1 ∆x→0 x +∆ ) − x 2 = = = x 2 x 2 x 2 acerca a 5 km, es decir calculen e interpreten el x ∆ ∆ ∆ x x x x ∆x→0 9 −1 x x 3 →0 x f) lim 2 = e) lim 3 + x ( x +∆ x +∆ ) − x− x ∆x→0 x +∆ ) − x 2 = x 2 resultado de: 2 ( x ) ) 2 ∆ 2 2 x 2 2 x x − ( x +∆ x ( x x →0 x vx vx f) lim vx f) lim f) lim = 2 x= 2 f) lim x 9 2 2 = x 2 x 2 2 = x 2 lim( ), lim( ), lim( ). ∆x→0x +∆ ) ∆x→0 x +∆ ) − x →0 ∆x x ∆x→0 x ( ∆ ∆ x x x ∆ x x− x ( ∆ x x x x→5 − x→5 · + x→5 f) lim ( f) f) lim = 2 x ∆ x 2 x 2 = x 2 _________________________________________________ x ( x ∆x→0 x +∆ ) − 2 er ent ent er es lat er er erales son dif Interpretación, los límites laterales son diferentes, por lo I _________________________________________________ , por lo pr etación, los límit pr _________________________________________________ , por lo erales son dif nt nt es lat es I _________________________________________________ etación, los límit es 2 ∆x→0 x +∆ ) − x x f) lim ∆ x x f) lim = x 2 ∆ x = x 2 _________________________________________________ x ∆x→0 = 5 no exist . Es decir _________________________________________________ x que el límit x x _________________________________________________ _________________________________________________ = 5 no exist e e _________________________________________________ = 5 no exist _________________________________________________ e _________________________________________________ . Es decir e un cam- e en x , exist , exist e en , exist x x e un cam- . Es decir e un cam- que el límit x 3 3 3 ( ∆x→0 x 2 ∆ g) lim ( x ( x ( x +∆ ) − x+∆ ) − x+∆ ) − x 3 3 3 = = = 2 2 2 que el límite en x = 5 no existe. Es decir, existe un cam- x x x x +∆ ) − 2 x g) lim ∆→0( = ∆→0 x2 f) lim x 2 x g) lim ∆ ∆ ∆ x x x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 _________________________________________________ o en la v _________________________________________________ _________________________________________________ ∆→0 x +∆ ) − bio abrupto en la velocidad al cruzar por el kilómetro 5. bio abrupt bio abrupt elocidad al cruzar por el k elocidad al cruzar por el k ilómetr o 5. o en la v o 5. ilómetr _________________________________________________ x x ( 2 ∆x→0 x +∆ ) − xx x ∆ x g) lim 3 = 3 3x 32 f) lim ( ( x +∆ x +∆ ) − x ( x 3 ∆ x x) − x 3 = x 3 2 3 3 ∆→0 x +∆ x ) − x x ( x +∆ x) − x x ∆x→0 = g) lim ∆→0 ( ∆ x g) lim = 3 x 3 = 2 x 3 x 2 3 3 = x 3 2 Indaguemos g) lim g) lim 2 3 ∆→0 x +∆ 3 ∆ x x ∆ x x ∆ x ∆→0 ∆→ x0 x x +∆ ) − ( ∆ x x) − x 2 x x g) lim ( ∆ g) lim = 3 x 2 ∆ x 3 x 3 = x 3 8. Investiga si la siguiente a rmación es verdadera x ( ∆→0 x +∆ ) − x 3 ∆→0 x +∆ 3 x x x) − x g) lim g) g) lim = x 3 2 ∆ x = x 3 2 o falsa: ∆→0 x x ( ∆→0 x 3 ∆ x x 3 “Si una función es continua en un valor c, entonces x +∆ ) − g) lim x x ) − x 3 = x 3 2 x ( 3 ∆→0 x +∆ g) lim ∆ = x 3 2 existe el límite de la función en ese valor c”. ∆→0 ∆ x Analiza el signi cado de continuidad y relaciónalo x con la existencia del límite para justi car tu respuesta. Matemática 3.º BG 21/8/25 12:32 Matematica 3 BG Cultiva.indb 51 Matematica 3 BG Cultiva.indb 51 21/8/25 12:32]]> 0 es un número fx x→−∞ x→∞ racional, tal que x está r Signi ca que los valores de f(x) pueden aproximarse a L tanto como x sea su ciente- definida para toda x, mente pequeño o grande en magnitud. entonces: 1 1 lim Definición de asíntota horizontal x→∞ x r = ∞ r = 0 La recta y = L se llama asíntota horizontal de la curva y = f(x) si y solo sí: lim 1 = 1 = 0 lim( ) L= o lim () x = L x→−∞ x r ( −∞) r fx f x→−∞ x→∞ A cción y expresión Ejemplos paso a paso 2 x −1 1. Determinemos las asíntotas horizontales de la función: fx() = 2 x +1 2 x −1 Paso 1. Para la función fx() = el Paso 2. Gra camos la función. 2 x +1 dominio es , no tiene asíntotas verticales. y 3 x f(x) 2 –3,000 0,800 1 y = 1 –2,000 0,600 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 x –1,000 0,000 –1 1 0,000 –1,000 –2 1,000 0,000 –3 2,000 0,600 –4 3,000 0,800 Paso 3. Calculamos los límites cuando x tiende a ±∞ y determinamos la ecuación de la asíntota horizontal. Digital 2 2 x −1 ∞−1 ∞ lim = = para levantar la indeterminación dividimos numerador y En la actualidad existen 2 2 x→±∞ x +1 ∞+1 ∞ infinidad de calculadoras 2 denominador para la variable con exponente mayor en este caso para x . online gratuitas que te x 2 1 1 1 permiten analizar el tipo 2 − x −1 2 − 2 1 − 2 1 1− 2 10 de asíntotas que tiene lim = lim x x = lim x = ∞ = = 1 ; la asíntota horizontal es y = 1. + 2 x→±∞ x +1 x→±∞ x 2 + 1 x→±∞ 1 + 1 1+ 1 10 una función. x 2 x 2 x 2 ∞ 2 Para que puedas practicar La as ntota horizontal es y = 1. puedes ingresar al siguiente 2. Determinemos las asíntotas verticales y horizontales de la función: fx() = x 2 enlace: 3 − x lynk.ec/13mtc05 Asíntota vertical Dominio  −{}3 Asíntota horizontal () x 2 32 6 x 2 2 ∞ ∞ lim = = = +∞ ; lim = = ; indeterminado − x→3 3 − x 33 0 x→±∞ 3 − x 3 −∞ ∞ − () x 2 32 6 x 2 lim = = = −∞ − x→3 3 − x 33 0 lim x 2 = lim x = lim 2 = 2 = 2 − ; + 3 − asíntota vertical. x = 3 es as ntota vertical. x→± ∞ 3 − x x→ ±∞ 3 − x x→±∞ 3 − 1 01 x x x Asíntota horizontal y = –2 Matemática 3.º BG 21/8/25 12:32 Matematica 3 BG Cultiva.indb 55 21/8/25 12:32 Matematica 3 BG Cultiva.indb 55]]> LL ≠⋅∞ ( Límite de la resta lim a − ) =− ⇔⋅ 2 0 * k⋅∞ = ∞ k 0 b L L 1 x→∞ n n 1 2 * k⋅∞ = −∞ ; < k 0 ⇔− L ≠∞ −∞ Límite del cociente lim   a   = L 1 * * 0⋅∞ = Ind. L n 2 1 x→∞  b n  L 2 * ∞⋅∞= ∞ L 0 ⇔ 1 ≠ * k ∞= 0 A cción y expresión L 2 0 * ∞∞ = Ind. * 00 = Ind. Ejemplos paso a paso 1. Sean a {} {} sucesiones de nidas como: b y n n 2 2 3 n +10 n n ++1 n ( a = y b = ; ∀∈ ; halla lim a + )  b n n 2 n +5 n+15 n 10 n +3 n+5 x x→∞ n n 2 Calculamos el límite de cada sucesión y sumamos. ( 2 2 b n 3 n +10 n n ++1 lim a + ) = lim = lim = x→∞ n n 2 2 x→∞ n +5 n+15 x→∞ 10 n +3 n+5 1 31 = n 3 2 + 10 n 3 + 10 n 2 + n + 1 1 + 1 1 + 1 3 + 10 10 lim n 2 n 2 = ∞ ∞ = 3 lim n 2 n 2 n 2 = ∞ ∞ 2 = 1 x→∞ n 2 + n 5 + 15 1 + 5 + 15 x→∞ 10 n 2 + n 3 + 5 10 + 3 + 5 10 n 2 n 2 n 2 ∞ ∞ 2 n 2 n 2 n 2 ∞ ∞ 2 Matemática 3.º BG 21/8/25 12:32 Matematica 3 BG Cultiva.indb 61 Matematica 3 BG Cultiva.indb 61 21/8/25 12:32]]>1 Paso 1. Analizamos la continuidad en x = –2 Paso 2. Analizamos la continuidad en x = 1 + 2 ) n f 2 i)(−= 3 m(−+ =−6 m n i)( )13 m( )+ n 3 m n ) + = = f 1 + + ii) lim( xm) = lim (3 mxxn) ii) lim(3 mx n)lim(3 x 2 n) ) + = + x→−2 − x→−2 + x→ 1 − x→ 1 + + −+ m =−6 m n 3mn+= 3 2n 2 + −= 7 mn 2 3m− 3n = 3 ÷ ; 3 mn = 1 − Paso 3. Resolvemos el sistema de ecuaciones Paso 4. Escribimos la función con los valores que hacen que  7mn−= 2 sea continua.   1  mn−= 1  x + , si x < −2 −= 7mn 2 mn−=1  6  mn =− −+ 1 1 fx () =  2 1 x − 5 , si − ≤≤2 x 1 6 n 6m = 1 6 −=1  5  > 1 −5  3 x + , si x >1 m = n =  3 6 6 Matemática 3.º BG 21/8/25 12:32 Matematica 3 BG Cultiva.indb 67 21/8/25 12:32 Matematica 3 BG Cultiva.indb 67]]> 0 ,  i)( ) f 2 = 4 fx () = 3 si x < 0 ii) lim( ; lim( f x ,  fx) 4= fx) 4= ; lim(x) = 4  x→ 2 − x→ 2 + x→ 2  , 4 si x = 0 iii) f(2) = lim( fx) cuya grá ca es: x→2 f(x) es continua en x = 2. y 7 3. Analiza la continuidad de la siguiente función. 6  x +8 3 5  , si x ≠−2 fx() =  x +2 4   3 3 3 3  , 2 si x =−2 2 a) Veri ca los tres pasos de continuidad para 1 x = –2. ) 2 f –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 7 x i)(−= 2 x +8 0 3 ii) lim == Ind. a) Veri ca los tres pasos de continuidad para x = 0. x→−2 x +2 0 2 + x = f i)( ) 4 lim ( x + ) 2 ( x −2 + ) 4 =12 0 fx) 3 ii) lim( = ; lim( = x→−2 x +2 fx) 3 ≠ lim( x→ 0 − x→ 0 + iii) f(-2) x →−2 fx) x f lim(x) = 3 x→ 0 b) La función f(x) es continua o discontinua en fx) iii) f(0) ≠ lim( x = –2, en caso de discontinua diga de qué tipo. x→0 f(x) es discontinua en x = –2, tiene _____________________________________________ discontinuidad removible. b) La función f(x) es continua o discontinua en _____________________________________________ x = 0, en caso de que sea discontinua expresa de qué tipo. c) En caso de que la discontinuidad sea removi- ble, rede ne la función original. f(x) es discontinua en x = 0, tiene _____________________________________________ 3 discontinuidad removible. _____________________________________________  x +8 , si x ≠−2  fx() =  x +2 c) En caso de que la discontinuidad sea removi-  12 , si x =−2 ble, rede ne la función original.   , 2  x +3 si x > 0  4. Para la función de nida como: , fx () = 3 si x < 0 2  x +3 si x ≤1  ,    , 3 si x = 0 fx() = 8  x −3 si 1< x < 2 realiza lo siguiente: ,   x +3 , si x ≥ 2 a)( f = =5 f ) 1 5 a)( f ) 1 = a)( ) 1 5 A) Usa GeoGebra y gra ca la función en tu 2. Sea la función de nida: b) lim( fxlim( ) =5 = = fx) 5 5 b) b) lim( fx) cuaderno. x→ 1→ 1→ 1 − − − x x x  , si x < 2 2 lim( fxlim( ) =5 fx) 5 5 c) lim( c) c) fx () =  , ¿es continua f(x) en x = 2? B) Completa los siguiente literales. + + + fx) = = x x  , 4 si x ≥ 2 x→ 1→ 1→ 1 x = x d) lim(x) ff f x d) d) lim(x) = 5 5 5 f ) 5 5 a) a)( ) 1 5 ______ d) lim(x) = 5 ______ = = a)( ) 1 5 a)(1 = f f x x a) Gra ca la función en tu cuaderno, usa x→ 1→ 1→ 1 = lim( fxm( ) = b) b) = b) li = fx) 5 5 5 fx)) ) − fx) 5 ______ e) f(1) =e) f(1) ____ GeoGebra. b) lim( = e) e) f(1) = lim( fxlim( fxlim( x→− − x→ → x→1 1 1 x x→1 1 x→1 = c) = 5 + fx) 5 5 f 5 c) c) li lim( fxm( ) = f) g)( ) 2 = ______ lim( fx) 5 5 ______ c) x→+ + x→ → 1 1 1 x = lim( x d) lim(x) = x f f lim(x) = 5 5 d) d) lim(x) = 5 h) x→ 2 − fx) 13 x f x→ 1→ Matemática x→ 1 1 x fx) 5 fx) ) e) f(1) = = li lim( fxm( e) f(1) fx) 3.º BG e) f(1) = lim( i) lim( = + x→1 x→1 x→1 x→ 2 j) lim f(()x = no existe x→ 2 k) f(2) lim( ) ≠ fx x→2 21/8/25 12:32 Matematica 3 BG Cultiva.indb 68 Matematica 3 BG Cultiva.indb 68 21/8/25 12:32]]> 2 Actividad cooperativa 2 1 a = ; b = 3 3 Trabajen en equipo y resuelvan las siguientes actividades. 7. La función de costo de servicio de envíos por transfer se presenta por: 2 x −3 )( af x) =  32 , si 0 << x −3 6. Para cada una de las siguientes funciones encuen-  x −8 2 x +2  tra todos los puntos de discontinuidad si es el caso. cx() =  55 , si 1< x ≤ 2 x −3 2 2 2 2 2 x −3 x − − x = x −3 3 3 x )( af x) = )( af x) a) af x) = = = x +2 x −8  78 , si 2 < x ≤ 3 af )( x) x) af )( )( 2 2 2 2 2 x +2 x 4 − x +2x+2x −8 x −8 8 x x +2 x −8  101 , si 3 <≤  Discontinuidad en x =−4 y x = 2 Donde c es el costo en dólares para enviar un x + 4 paquete de peso 0 < x ≤ 4 en libras. bf x) = 2 )( x x + 4 Discontinuidad en x =−4 y x = 2 a) Usen GeoGebra y gra quen la función. x = 2 x =−4 y Discontinuidad en Discontinuidad en x =−4 Discontinuidad en xDiscontinuidad en y y = x = 2 2 x =−4 x=−4 x y = 2 x + 4 x + + bf x) = x + 4 140 y x + 4 4 4 x )( bf x) = )( )( x) x)( b) bf )( = x x + 4 bf x) = = ) bf 2 2 2 2 2 x x + x x + 4+ 4+ 4 4 120 x x x x Continua en todos los números reales. 110 Continua en todos los nœmeros reales 80 , +  x 6 si x ≥ 3 x ) )( cf x =  60 x < 3 x, si  Continua en todos los nœmeros reales Continua en todos los nœmeros reales 40 Continua en todos los nœmeros reales Continua en todos los nœmeros reales Continua en todos los nœmeros reales +  x 6 si x ≥ 3 20 , x + x x 6 si x ≥ 3 ,  x + x x x ≥ ≥  x + x 6 si x ≥ 3 3 3 x x  + 6 si , 6 si , )( , ) )  )( cf x =  c) cf x =  x, si x < 3 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 x cf cf)( x =) x = )( ) )( cf x =   x, si ) x < 3  x, si x < 3 3 x, si x <, si x x < 3    –20 Discontinua en x = 3 –40 Continua en x = 3 –60 b) ¿Para qué valores la función es discontinua? 2 x + 6 x +9 )( df x = ) 2 _____________________________________________ La función es discontinua para x = 1, x +2x − Continua en x = 3 Continua en x = 3 2 15 _____________________________________________ Continua en x = 3 Continua en x = 3 Continua en x = 3 x =2 y x = 3 2 x + 6 x +9 2 x +9 2 2 2 x + 6 x x + 6 x +9 9 + )( df x = ) d) df x =) x + 6x+ 6x +9 c) ¿Qué tipo de discontinuidad se presenta? )( df )( df x = ) x = ) x = ) df )( x +2x − )( 2 2 2 2 2 x +2x − 2 15 x + + 2 15 x +2x −15x −15x − 2 2 2 2 x 2 15 Es una discontinuidad esencial. Discontinuidad en x = –5 y x = 3 _____________________________________________ x =− 5 x = Discontinuidad en y 3 x − 3 Nota: la grá ca que obtuviste se denomina función ) df x = 2 escalón, a causa de su forma. )( x + x x =− Discontinuidad en x =− 5 x = y 3 3 3 3 5 x = Discontinuidad en y Discontinuidad en Disc 5 x = 3x = y x = y Discontinuidad en xontinuidad en x =−5=−5x =− y 3 x − x − − − x x 3 3 3 )( e) df x =) ) x − 3 Indaguemos df x = )( df df x = = )(x = )( ) df x) )( 2 ) x + 2 x 2 2 2 x + x x x + x+ x+ x x 8. Son muchos los campos donde se aplica este tema. Discontinuidad en x = 0 y x = –1 Investiga una situación real donde los límites o la Discontinuuidad en x = 0 y x = −1 continuidad se utilicen, como por ejemplo en me- dicina, en física o en economía. Comparte tus ha- llazgos con tus compañeros. Discontinuuidad en x = 0 y x = −1 Discontinuuidad en x = 0 y x = −1 Discontinuuidad en x = = Discontinuuidad en x y x = −1 y x = −1 Discontinuuidad en x = 0 0 0 y x = −1 Matemática 3.º BG 21/8/25 12:33 Matematica 3 BG Cultiva.indb 69 Matematica 3 BG Cultiva.indb 69 21/8/25 12:33]]> − bf x) = 1 x, si− =   1 x, si 1 x > 1 a) a)( f −= 0 _______ f) g)( ) 2 = _______  x) bf)( ) 2 0 0 f 0 1 x, si > − x 1 −  x g)( ) 2 = 0 a)( f −= 0 −= 0 ) 2) 2 g)( ) 2 = 0 g)( ) 2 = i)( ) = 11i)( ) =  1 x, si > 1 a)( f lim( )2 fx) =1 a)( f f f f lim( 11 f ) 2 0 f a)( f −= 0 f −= h) g)( ) 2 = )2 = 0 0 fx) 0 b) a)( f −= 0 = ) i)( f 11 = = 11 i)( f ) 0 x→−2 fxlim( ) =1 ______ b) fx) =1 = 2 fx) 0 lim( h) − − b) = iii) lim( ) =1)fx ; lim( ) = 0)fx=1 ; lim( = 0 b) b) lim( 1 g) h) x→ fxlim( ) 0 _______ x→−2 − fxlim( ) =1 i ii) lim( x→ fxlim( ) 0 fx h) fx x→−2− fxlim( ) =1 − = b) h)lim( − 2fx) =1 x→ − fxlim( ) 0 b) 2 − = fx fx lim( lim( − + + − iii) lim( )fx =1 + ; lim( )fx = 0 x →1 x→1 iii) lim( ) =1 x→1 x→1 − ; lim( ) = 0 c) x→−2 − fx) = 0 i) x→−2 + 2 2 − fx) 0 = x→ − i) x→ x→ fxlim( ) 0 x→−2 fx) = = c) lim( i) x→−2 fxlim( ) = 0 0 _______ x→1 2 fx) 0 _______ + lim( ) = )fx = x→1 x→1 + c) c) x→−2 + fxlim( ) = 0 0 h) lim( = 0 fx lim( no existe c) − no existe i) x→ fxlim( ) 0 x→1 + x→ + fxlim( ) 0 0 i) lim( 2 fx) = = c) + lim( ) = no existe x→−2+ fxlim( ) = 0 c) lim(x) = 0 2 + limfx() = x lim( ) = no existe fx →1 x→1 x j) x→ fx no existe 2 f + + x→−2 + j) lim(x) = 0 x→2 d) x→−2 2 no existe lim(x) = 0 j) x→ x→1 x→1 d) d) limfx() = no() = no() = _______ i) j) x→− 2f f x x x 0 existe d) limfx existe d) limfx x→ 2 No existe x→ flim(x) = 0 _______ limfx() = no existe existe d) x→ lim(x) = 0 no() = 2f 2 k) f(2) = fx) 6. Halla los valores de a y b para que la función sea e) f(-2) 2 ≠ lim( d) j) limfx x li lim( fx) x→ → x→ x→ 2 2 2 2 x = x→ x→2fxm( ) k) f(2) x→ 2 2 x→ lim( fx) = k) f(2) e) f(-2) ≠ li li e) f(-2) ≠ ≠e) f(-2) lim( fxm( fxm( = x→− k) f(2) continua en todos los reales, escribe la función de e) a)( f −= 0 ≠e) f(-2) ≠ x→− 2 2 2 2fx) ) ) j) k) f(2) = ____ x→2 fxlim( ) x→− fxlim( ) ) 2 ____ ≠ = li e) f(-2) x→2fxm( ) fxlim( ) x→− x→2 x→− nuevo. b) lim( x→− 2 x→2 2 fx) =1  , 2 si x ≤−1 x→−2 −   , 2 si x ≤−1 Contesta la rutina de pensamiento + 1 x 3 fx) = 0 fx() =  ax b, si − << c) lim(  − << 1 ax b,+ si x 3 fx () =  -2, si x3 Veo + x→−2 ≥ limfx() = no existe d)   ¿Qué es lo que observas en la grá ca? ≥  -2, si x3 x→ 2 fx) lim( ≠ e) f(-2) Respuesta abierta a =−2 _____________________________________________________ x→− 2 a b = 4 _____________________________________________________ =−2 b = 4 Pienso ¿Qué análisis puedes hacer de la grá ca? _____________________________________________________ Respuesta abierta _____________________________________________________ Coevaluación Me pregunto Trabajen en equipo la rutina de pensamiento ¿En qué puntos la función es continua? Veo – pienso – me pregunto. _____________________________________________________ Para valores de x mayores o iguales a –2. 7. Sea la grá ca de una función dada como: _____________________________________________________ Metacognición para aprender Responde en forma oral o escrita. Observando la grá ca de una función, ¿puedo saber si el límite existe en un punto dado. Puedo decir con mis propias palabras: ¿qué signi ca que el límite de f(x) es L cuando x tiende a un valor a? Si un límite es de la forma indeterminada 0/0, ¿qué estrategias conozco para resolver estos casos? ¿Por qué es importante revisar si el límite existe antes de intentar calcularlo? ¿Qué errores pienso que son comunes al calcular límites y cómo puedo evitarlos? Matemática 3.º BG 21/8/25 12:33 Matematica 3 BG Cultiva.indb 73 21/8/25 12:33 Matematica 3 BG Cultiva.indb 73]]> 0 (t medido en segundos). En t t = 6 la función no es der ivable . . . . . . . . . . 3 2 a) Encuentra el tiempo en el que el automóvil su- perará una velocidad de 100 km/h. 3. Un cohete despega, la función de desplazamiento ximadament ximadament ximadament ximadament ximadament ximadament ximadament ximadament ximadament ximadament ximadament ximadament ximadament ximadament ximadament ximadament ximadament ximadament o o o o o o o o o o ximadament ximadament ximadament ximadament ximadament ximadament o ximadament ximadament ximadament e a los 4 segundos e a los 4 segundos e a los 4 segundos e a los 4 segundos e a los 4 segundos e a los 4 segundos e a los 4 segundos e a los 4 segundos e a los 4 segundos e a los 4 segundos e a los 4 segundos e a los 4 segundos e a los 4 segundos e a los 4 segundos e a los 4 segundos e a los 4 segundos e a los 4 segundos e a los 4 segundos e a los 4 segundos e a los 4 segundos e a los 4 segundos ximadament e a los 4 segundos e a los 4 segundos ximadament ximadament ximadament ximadament ximadament e a los 4 segundos e a los 4 segundos e a los 4 segundos e a los 4 segundos e a los 4 segundos e a los 4 segundos e a los 4 segundos e a los 4 segundos e a los 4 segundos e a los 4 segundos o Apr Apr Apr Apr Apr Apr Apr Apr Apr Apr Apr Apr Apr Apr Apr Apr Apr Apr Apr Aproximadamente a los 4 segundos Apr Apr Apr Apr o ximadament e a los 4 segundos del cohete (en metros) está definida de la siguiente Apr Apr Apr Apr Apr Apr Apr Apr Apr Apr Apr o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o km km 129 ,6 . . forma: 129,6. 129 129 129 h S(t) = t + 2t – t + 10, t > 0; (t en segundos) 2 3 b) Escribe la distancia que ha recorrido el auto- a) Si necesita llegar a una velocidad de por lo móvil a los 10 segundos. menos 1000 km/h para superar la estratósfera, S(10) = 843 m determina el tiempo que demorará en superar (10) = 843 m (10) = 843 (10) = 843 (10) = 843 (10) = 843 (10) = 843 (10) = 843 (10) = 843 (10) = 843 (10) = 843 esta capa de la atmósfera. ximadament ximadament ximadament Apr Apr Apr Apr Apr Aproximadamente t = 9s Apr Apr Apr o o o o ximadament ximadament o o o o o o o o e e e e e e e e e e = 9 e e ximadament Apr o ximadament e t t = 9 ximadament ximadament Apr Apr Apr Apr ximadament ximadament ximadament ximadament km 9 c) Indaga la aceleración a los 2 segundos. v() =1000,8. h m 2 a() =8. S 2 b) Halla la aceleración al primer segundo. 2. En una carretera, un automóvil parte del reposo, la velocidad en metros por segundo se define de la a() =110. m siguiente forma: S 2 2 ⎧ t 2 – t +1;. t ≤5 v t ( ) =⎨ ⎪80–0,3; t >5 ⎩ a) ¿Cuál es la velocidad en kilómetros por hora 4. Responde verdadero (V) o falso (F) a las siguientes a los 3 segundos? afi rmaciones. km a) La aceleración es la derivada de la fun- 3 v() =57,6. ción de la velocidad respecto del tiempo: h () ( +h vt ) –v t () =lim b) ¿Cuál es la velocidad en metros por segundo at h →0 h V a los 8 segundos? b) La aceleración es la derivada de la fun- ción del desplazamiento respecto del m v() =77,6. tiempo: 8 s () ( +h St ) – S t F F () =lim at c) Determina (si se puede) la aceleración a los h →0 h 4 segundos. c) La velocidad es la derivada de la función del desplazamiento respecto del tiempo: m 4 a() =15. V V ( +h () S 2 vt St ) – S t () =lim h →0 h 90 Matemática 3.º BG 21/8/25 12:34 Matematica 3 BG Cultiva.indb 90 21/8/25 12:34 Matematica 3 BG Cultiva.indb 90]]> 0, para todo x en (a, b), entonces f(x) es creciente en el intervalo (a, b). b) Si f’(x) < 0, para todo x en (a, b), entonces f(x) es decreciente en el intervalo (a, b). c) Si f’(x) = 0, para todo x en (a, b), entonces f(x) es constante en el intervalo (a, b). Matemática Definición de puntos críticos Los puntos del dominio de f(x) en donde la derivada es cero: f’(x) = 0 o donde la deri- Pasos para determinar los intervalos donde vada no exista se llaman puntos críticos. la función es creciente o decreciente: Criterio para hallar máximos y mínimos relativos i) Encontrar Sea f(x) una función continua y derivable en el intervalo (a, b) y c un punto crítico de los puntos críticos. f en el intervalo. ii) Analizar el signo de f’(x) tomando valores a) Si f’(x) > 0 a la izquierda del punto b) Si f’(x) < 0 a la izquierda del punto arbitrarios en cada x = c y f’(x) < 0 a la derecha de x = c, x = c y f’(x) > 0 a la derecha de x = c, intervalo. iii) Usar el criterio de la f(c) es un máximo relativo. f(c) es un mínimo relativo. primera derivada para determinar dónde f(x) es A cción y expresión creciente o decreciente. Ejemplos paso a paso Máximo absoluto: es el valor más alto que 1. Resolvemos nuestro problema inicial toma la función en todo su dominio. Paso 1. Aplicamos el criterio de la primera Paso 2. Igualamos la derivada a cero y Mínimo absoluto: es derivada y determinamos dónde la función encontramos el punto crítico y los intervalos el valor más bajo que es creciente o decreciente. de análisis. 2 toma la función en todo Ix() =−2 x +24 x −10 0 =− 4 + 24 x = 6. ; x su dominio. Ix) =−4 x +24 Intervalos: −∞ ] ∪ [ , 6 6 + ∞) ] ·( , M.5.1.51. Calcular de manera intuitiva la derivada de funciones racionales cuyos numeradores y denominadores 94 Matemática sean polinomios de grado ≤2, para analizar la monotonía, determinar los máximos y mínimos de estas funciones y 3.º BG graficarlas con apoyo de las TIC (calculadora gráfica, software, applets). 21/8/25 12:34 Matematica 3 BG Cultiva.indb 94 Matematica 3 BG Cultiva.indb 94 21/8/25 12:34]]> 0 14. Sean los puntos p = (4, 2, 1) y q = (5, 3, 2). Encuen- c) si t < 0 tra la ecuación vectorial de la recta que pasa por _________________________________________________ _________________________________________________ _________________________________________________ ocede la r ta, iar t indica cómo a iar t indica cómo a ta, ec vanza o r vanza o r ec ocede la r etr etr Al var Al var Al variar t indica cómo avanza o retrocede la recta, dichos puntos. _________________________________________________ _________________________________________________ _________________________________________________ _________________________________________________ _________________________________________________ o inicial de la r o inicial de la r ta, para t > 0, se ta, para t > 0, se ec ec si t = 0 es el punt si t = 0 es el punto inicial de la recta, para t > 0, se si t = 0 es el punt x = (4, 2, 1) + t(1, 1, 1), ∀t ∈ _________________________________________________ _________________________________________________ _________________________________________________ _________________________________________________ or dir v v t t or dir mueve en la dirección del vector director, si t < 0, mue , si t < 0, , si t < 0, ec e en la dir mue ec ección del v or e en la dir or ección del v ec ec t t _________________________________________________ _________________________________________________ _________________________________________________ _________________________________________________ t t or or . ec ec . ección opuesta al v e en dir se mueve en dirección opuesta al vector director. ección opuesta al v v se mue e en dir v se mue or dir t t ec or dir ec Matemática 145 3.º BG 21/8/25 12:37 Matematica 3 BG Cultiva.indb 145 21/8/25 12:37 Matematica 3 BG Cultiva.indb 145]]> 15 d) r = t(,21 3 +− − ,) 24 1 − ,) (, d) No satisface 4. Las ecuaciones paramétricas de la recta que pasa por el punto P (1, 2, –1) con vector director 10. En el método gráfico, la región factible es:  v = (,21 3 a) El área donde se encuentran todas las − ,) son: restricciones. b) Solo los vértices del polígono.  x =+12 t  x =−12 t c) La recta de la función objetivo.   2 a)  y = 2 t c)  y =+ t d) El punto óptimo únicamente.   13  z =− +13 t  z =− + t 11. Los vértices de una región factible son: (0,0), (0,4), 12 12  x =+ t  x = + t (3,2) y (5,0). Si la función objetivo es: F(x, y) = 2x + 3y,   2 2 b)  y =− t d)  y = − t ¿cuál es el valor máximo?   a) 10 b) 12 c) 15 d) 18 13  z =−13 t  z = − + t 5. El vector normal al plano: 3x – 2y + 5z – 7 = 0 es: 12. Una restricción de no negatividad significa que: a) x ≥ 0, y ≥ 0 b) x ≤ 0, y ≤ 0 a) (3, –2, 5) c) (1, –2, 5) c) x > 0, y > 0 b) (3, –2, –7) d) (–3, 2, 7) d) x + y ≥ 0 170 Matemática 3.º BG 21/8/25 12:38 Matematica 3 BG Cultiva.indb 170 Matematica 3 BG Cultiva.indb 170 21/8/25 12:38]]> 6) = 0,657 2 2. La probabilidad de que un alumno de 3.º de ba- chillerato pierda el año es de 0,3. Si elegimos a 20 alumnos al azar, ¿cuál es la probabilidad de que b) Marque al menos 6 penaltis. haya exactamente 4 alumnos que pierdan el año? P(X ≥ 6) = 0,894 8 P(X = 4) = 0,13 8. La probabilidad de que un arquero acierte en el 3. Si una familia tiene 4 hijos, calcula la probabilidad blanco es de 1/4. Si tira 5 veces calcula la probabili- de que tres de ellos sean niñas. dad de que acierte: P(X = 3) = 0,25 a) Como máximo 2 veces. P(X ≤ 2) = 0,896 5 4. Un jugador de baloncesto encesta con probabili- dad 0,55. Encuentra la probabilidad de que al tirar b) Alguna vez. 6 veces el balón enceste: P(X ≥ 1) = 0,762 7 a) 4 veces. P(X = 4) = 0,277 9 9. En cierto colegio, la materia de inglés es aprobada por el 80 % de los alumnos. ¿Cuál es la probabilidad b) Todas las veces. de que de un grupo de 8 alumnos elegidos al azar hayan aprobado 6 alumnos? P(X = 6) = 0,0277 P(X = 6) = 0,293 6 178 Matemática 3.º BG 21/8/25 12:38 Matematica 3 BG Cultiva.indb 178 21/8/25 12:38 Matematica 3 BG Cultiva.indb 178]]> 0, la relación lineal es positiva, es decir si crece una variable, la otra también xy crece. ©Shutterstock b) S < 0, la relación lineal es negativa, es decir si crece una variable, la otra decrece. xy c) S = 0, no hay relación lineal entre las variables. Redacta un corto ensayo xy acerca de la historia del A cción y expresión café en el Ecuador. Ejemplos paso a paso 1. Regresemos a nuestro problema inicial. Paso 1. Para nuestro problema inicial, organizamos la información en una tabla. Horas de Nivel de x – x y – y i i Semana x – x y – y ejercicio (x) bienestar (y) x – 2,14 y – 5,31 i i i i i i 1 1,0 3,60 –1,14 –1,71 1,9494 2 1,5 4,35 –0,64 –0,96 0,6144 3 2,1 5,25 –0,04 –0,06 0,0024 4 2,9 6,45 0,76 1,14 0,8664 Socioemocional 5 3,2 6,90 1,06 1,59 1,6854 Total 10,7 16,55 5,1180 Reflexiona sobre la siguiente frase: Paso 2.Determinamos la media aritmética de las variables involucradas y completamos la tabla. n n “Cree en ti mismo y en lo ∑ x i ∑ y i que eres. Sé consciente Media aritmética x = i=1 Media aritmética y = i=1 de que hay algo en tu n n interior que es más , + 35 5256 45 690, , + 52 12 93 2, 11 + , + , + , 10 7 3604 + , + , + , 26,,55 grande que cualquier x = = = 21,4 4 y = = = , 531 5 5 5 5 obstáculo”, Christian D. Larson. Paso 3. Encontramos la covarianza e interpretamos el resultado. i ( n ∑ x − )( y − ) x y i ,) S = cov( x y = i=1 = , 5 1180 = , 12795 xy n−1 4 La covarianza es positiva, lo que indica que a medida que aumentan las horas de ejercicio, también aumenta el nivel de bienestar emocional. Matemática 185 3.º BG 21/8/25 12:39 Matematica 3 BG Cultiva.indb 185 Matematica 3 BG Cultiva.indb 185 21/8/25 12:39]]>