, ≥). 19/11/24 09:10 Matematica 8 EGB Cultiva.indb 14 Matematica 8 EGB Cultiva.indb 14 19/11/24 09:10]]> 0 ¿El valor absoluto de un número negativo, es mayor o menor que cero? Ejemplo Ordenamos en forma ascendente los siguientes números: –3, 8, –5, 6, 0, 3. Solución –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 –5 < –3 < 0 < 3 < 6 < 8 Matemática 15 8.º EGB 19/11/24 09:10 Matematica 8 EGB Cultiva.indb 15 Matematica 8 EGB Cultiva.indb 15 19/11/24 09:10]]>, según corresponda. 14. Escribe los números enteros que tengan por valor a) +8 ______ –8 i) –5 ______ +3 absoluto cada uno de los siguientes números: < > b) +8 ______ –9 j) +9 ______ –2 a) 9 __________ __________ > |–9| > |+9| c) –2 ______ +8 k) +30 ______ –21 b) 15 __________ __________ |–15| |+15| > < d) 0 ______ +7 l) –23 ______ +70 c) 10 __________ __________ |–10| |+10| < < e) –5 ______ –1 m) –25 ______ +32 d) 235 __________ __________ < |+235| |–235| < f) –17 ______ –59 n) –120 ______ –14 e) 25 __________ __________ < > |–25| |+25| g) –5 ______ –2 o) –12 ______ –26 15. Escribe los cuatro siguientes términos de cada > < h) +6 ______ +8 p) –1 ______ –14 sucesión. > < 20, 25, 30, 35 a) –10, –5, 0, 5, 10, 15, __________________ 11. Ordena en forma ascendente los números. b) –20, –17, –14, –11, –8, –5, __________________ –2, 1, 4, 7 a) 17, –34, –15, 9, 5, 23, 12, –5, 20 c) 25, 20, 15, 10, 5, 0, __________________ –5, –10, –15, –20 –34 < –15 < –5 < 5 < 9 < 12 < 17 < 20 < 23 _____________________________________________ d) 6, –1, –8, –15, –22, –29, __________________ –36, –43, –50, –57 b) 37, –4, –45, –9, –5, 3, –2, –15, 0 –45 < –15 < –9 < –5 < –4 < –2 < 0 < 3 < 37 _____________________________________________ Actividad cooperativa c) –3, 35, 12, 74, –13, 19, –63, 15, –1 16. Trabajen en equipos. – 63 <– 13 < – 3 < – 1 < 12 < 15 < 19 < 35 < 74 _____________________________________________ Escriban en tarjetas 10 números positivos y 10 negativos. Cada participante escoge al azar cuatro números y los ubica en una recta numérica. Claves para indagar Indaguemos 17. Investiguen sobre las temperaturas más altas Asegúrate de consultar varias fuentes. De esta forma, y más bajas en la Tierra; luego, expongan en podrás comparar y completar la información que se clase los lugares con temperaturas extremas que solicita. encontraron. Matemática 17 8.º EGB 19/11/24 09:10 Matematica 8 EGB Cultiva.indb 17 Matematica 8 EGB Cultiva.indb 17 19/11/24 09:10]]>, según siempre es positiva. __________ F corresponda. f) Si un factor es cero en una multiplicación, en- a) –8 _________ +14 tonces el producto es cero. __________ < V b) –5 _________ 0 g) Si un factor es –1 en una multiplicación con un < c) –20 _________ –15 entero positivo, el producto es un entero posi- < tivo. __________ F d) –4 _________ –12 > 6. Lee y encuentra los resultados. e) 0 _________ –14 > a) ¿Qué número se debe sumar a –18 para obte- 3. Completa la tabla. ner 50? __________ 68 Número Opuesto Valor absoluto b) ¿Qué número debe restarse a –25 para obtener –15? __________ –10 5 5 5 c) ¿Qué número debe multiplicarse a –3 para ob- 10 –10 10 tener –18? __________ 6 –56 56 56 d) ¿Para qué número se debe dividir –80 para ob- 34 –34 34 tener 10? __________ –8 4. Responde las siguientes preguntas. 7. Completa el siguiente esquema. a) ¿Cuántos números hay entre 3 y –3? __________ 45 20 –12 –9 5 números + + + 1, 0, –1, –2, –3 b) ¿Qué números están entre 2 y –4? ____________ 65 10 –21 +8 c) ¿Cuál es el opuesto del opuesto de +8? _______ + + d) Juan cobra $1 200, gasta $600 en educación, 75 –11 $400 en alimentación; luego, cobra un che- + que de $200. ¿Cuánto dinero le queda a Juan? ____________ 64 $400 5. Responde las siguientes preguntas. 8. (10 × 100) (20 × 80) = a) La diferencia de dos enteros negativos es nega- a) 20 000 × 80 000 c) 2 000 × 80 000 tiva. __________ F b) 2 000 × 8 000 d) 20 000 × 800 48 Matemática 8.º EGB 19/11/24 09:10 Matematica 8 EGB Cultiva.indb 48 19/11/24 09:10 Matematica 8 EGB Cultiva.indb 48]]>, ≥). 19/11/24 09:11 Matematica 8 EGB Cultiva.indb 54 19/11/24 09:11 Matematica 8 EGB Cultiva.indb 54]]>− ⋅ Comparación de fracciones con el mismo denominador ( −⋅ ( 75) 3 5 Entre dos o mas fracciones que tienen igual denominador es mayor la de mayor Entonces − >− . numerador. 7 9 Comparación de fracciones con diferente denominador Buscamos fracciones equivalentes con igual denominador. El denominador será el mínimo común múltiplo de los denominadores. Comparamos los numeradores. Interdisciplinariedad Ejemplos: Comparamos las fracciones y ordenamos en forma ascendente. Matemática y astronomía 11 5 15 8 4 a) ; − ; b) − y − Los números racionales 8 8 8 9 5 permiten registrar con mayor exactitud los datos Solución de la ocurrencia de un 5 11 15 a) Comparamos los numeradores: –5 < 11 < 15, por lo tanto: −< < fenómeno atmosférico o 8 8 8 el paso de algún cometa 8 40 4 36 40 36 8 4 cerca del planeta Tierra. mcm45; = b) mcm (9 y 5) = 45; − =− y −= − ; − < − ; − < − 9 45 5 45 45 45 9 5 Matemática 55 8.º EGB 19/11/24 09:11 Matematica 8 EGB Cultiva.indb 55 19/11/24 09:11 Matematica 8 EGB Cultiva.indb 55]]>, par de fracciones equivalentes. Utiliza productos según corresponda. cruzados. 2 3 6 x a) 7 > 3 f) 5 > 3 a) = x = 12 c) = x = 14 8 8 17 17 8 x 9 21 4 6 10 x b) 3 3 g) 4 4 b) = x = 16 d) − = x = –25 7 > 11 15 < 7 x 24 14 35 10. Ordena, de mayor a menor, los números racionales. c) 0 < 1 h) 0 > – 3 8 5 11 1 2 6 5 ©maya®EDUCACIÓN – Libro resuelto solo para fines didácticos – Prohibida su reproducción a) − , , − , , − 10 2 3 5 7 d) – 5 < 5 i) 6 < 10 1 5 2 6 > >− >− >− 11 6 8 5 7 5 2 3 7 10 e) – 9 > – 6 j) 1 > –2 b) − 2 , 5 , − 1 7 3 11 7 25 , , 3 4 2 3 8 15. Uno de estos ejercicios no es correcto. Averigua 7 > 5 >> −> − 2 1 3 3 4 8 2 3 cuál es y corrígelo. El ejercicio a) tiene error en el signo, es >. 5 6 6 15 11. Ordena, de menor a mayor, los números racionales. a) − < − b) −> − 8 11 7 8 3 1 22 12 15 4 a) − ; ; − ; ;− ; 4 2 7 5 8 3 16. Halla el valor absoluto de cada ejercicio. 22 15 3 1 4 12 3 − < − <− < < < 3 3 3 7 8 4 2 3 5 a) – = c) + = 5 5 8 8 2 5 47 35 21 9 b) ;− ;− ; ;− ; 5 7 6 9 5 4 5 5 9 9 b) −− = d) −−− =– 47 21 5 2 9 35 9 9 7 7 − < − < −< < < 6 5 7 5 4 9 Actividad cooperativa 12. Escribe tres números racionales que sean: 17. Trabajen en parejas. a) Mayores que 4. Respuesta abierta Escriban cinco fracciones y una fracción equivalente de cada una. Un participante representa b) Mayores que 0 y menores a 1. Respuesta abierta la fracción y el otro participante representa la equivalente. Utilicen gráficos de la misma medida. 10 c) Menores que – . Respuesta abierta Superpongan los gráficos y comparen: si son 3 iguales las fracciones, son equivalentes; caso 13. Encuentra una fracción que cumpla las siguientes contrario, hay un error. condiciones. Indaguemos 4 5 18. Investiga las dimensiones del trayecto del triatlón a) Sea mayor que y menor que 7 3 en total, y el trayecto de cada uno de sus deportes. 3 Indica qué fracción del trayecto corresponde a b) Sea equivalente a y numerador 27 cada uno de los deportes del triatlón. 4 Elabora un gráfico del recorrido del triatlón con 7 sus tres trayectos representados en fracción y con c) Sea equivalente a y denominador 100 5 la medida de cada uno. Matemática 57 8.º EGB 19/11/24 09:11 Matematica 8 EGB Cultiva.indb 57 Matematica 8 EGB Cultiva.indb 57 19/11/24 09:11]]>; ≤ o ≥. Algunos bancos expresan en su reglamento que los clientes deben mantener Expresiones que hacen referencia a una desigualdad un saldo mínimo en sus cuentas. Ejemplo Expresión algebraica ©Shutterstock El teléfono cuesta por lo menos $250. t ≥ 250 ©maya®EDUCACIÓN – Libro resuelto solo para fines didácticos – Prohibida su reproducción La edad mínima para ver la película es 12 años. e ≥ 12 Luis tiene como máximo 5 pares de zapatos. z ≤ 5 La velocidad permitida es de máximo 70 km por hora. v ≤ 70 ¿Cuál puede ser la razón de esta norma? Para resolver una inecuación, se siguen los mismos pasos que para resolver una ecuación. La única diferencia radica en que si se multiplica la desigualdad por un nú- mero negativo, esta cambia de sentido y que la solución es un conjunto de números enteros, que pueden ser graficados en la recta numérica. Ética e integridad Ejemplo : Cuando resuelves tus Resolvamos las siguientes inecuaciones y grafiquemos su resultado. ejercicios y tareas de manera responsable y a) m +≤48 honesta, adquieres b) n + 12 > 17 valores como la solidaridad, la justicia c) −+ −≤ +p45 7 6 ©Shutterstock y el respeto. Solución Resolvemos siguiendo los mismos pasos de la ecuación y grafiquemos su solución. Tomamos en consideración solo los valores enteros. a) m 48 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 +≤ m 84 ≤− m ≤ 4 Digital El conjunto solución en los números enteros es: M = {..., 2, 3, 4} Practica desigualdades b) n +12 >17 0 1 2 3 4 5 6 7 8 sencillas en línea. Te n >17 −12 recomendamos revisar n >5 El conjunto solución en los números enteros es: N = {6, 7, 8,...} el siguiente enlace web: lynk.ec/8mt20 c) −+ −≤ +6 7 p 45 76 45 −+ −− ≤ p –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 5 11 −+ ≤ p −≤ p6 p ≥ − 6 El conjunto solución en los números enteros es P = {–6, –5, –4, ...} Matemática 95 8.º EGB Matematica 8 EGB Cultiva.indb 95 19/11/24 09:13 19/11/24 09:13 Matematica 8 EGB Cultiva.indb 95]]>112 resultante es equivalente 8x >112 a la dada. 112 Si a los dos miembros x > de una inecuación se 8 les multiplica o divide x >14 por un mismo número negativo, la inecuación El ancho del terreno debe medir como mínimo 14 metros. resultante cambia de ©Shutterstock sentido y es equivalente a la dada. Matemática 97 8.º EGB 19/11/24 09:13 Matematica 8 EGB Cultiva.indb 97 Matematica 8 EGB Cultiva.indb 97 19/11/24 09:13]]> 4 –4 g) 45 + 7 – 8 + 28 – 3 = 45 + 6m m = ______ 4 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 h) 2w+ 8 – 5 + 8 + 5 – 18 = 6 + 2 w = ______ 5 x > 2 El conjunto solución es x = {3, 4, 5, ...} _____________________________________________ 3. Escribe en lenguaje algebraico las siguientes expresiones que se refieren a desigualdades. b) 2x – 6 < –4 a) El tiempo de lavado es máximo 20 minutos. _____________________________________________ –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 t ≤ 20 b) El préstamo se otorgará si el cliente gana al _____________________________________________ x < 1 El conjunto solución es x = {..., –3, –2, –1, 0} menos $2 000 mensuales. _____________________________________________ c) 4m – 4 ≤ 12 s ≥ 2 000 c) En un almacén, el precio se considerará al por mayor si compra más de 3 artículos. _____________________________________________ –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 c > 3 _____________________________________________ d) El paciente debe estar en cama más de 5 días. m ≤ 4 El conjunto solución es x = {..., 2, 3, 4} _____________________________________________ t > 5 98 Matemática 8.º EGB 19/11/24 09:13 Matematica 8 EGB Cultiva.indb 98 19/11/24 09:13 Matematica 8 EGB Cultiva.indb 98]]>, <, ≤ o ≥ . muchas relaciones y Para resolver una inecuación con coeficientes racionales, se siguen los mismos pasos procesos físicos. Por que para resolver una ecuación, con la diferencia de que la solución es un conjunto ejemplo, en los radares de números racionales. 4 x – ≤ 5 x – 3 x + 3 que controlan la velocidad en las carreteras 5 Ejemplo: 3 6 5 5 procesan los datos de 4 5 3 3 velocidad, distancia y x+ x ≤+ 5 x – Resuelve la siguiente ecuación, aplicando la transposición de términos: 3 6 5 5 tiempo de un vehículo. x 4 – 5≤ x 5 – 3 ( x – ) 1 40 – x 18 x 325 + x 25 + 3 6 5 30 ≤ 5 ©Freepik 4 x – ≤ 5 x – 3 x + 3 33x ≤ 28 5 3 6 5 5 30 5 3 4 x – 5 x+ 3 x ≤+ 5 11x ≤ 28 3 6 5 5 3 5 + 40 – x 18 x 325 x ≤ 84 x 25 + ≤ 30 5 55 ¿Cómo es el comportamiento de 33x ≤ 28 x ≤ 16 muchos conductores 30 5 11 cuando no hay radares? 11x 28 1 14 28 La solución es el conjunto x = …,, …, , …, , ≤ 3 5 2 10 55 es decir el conjunto de número racionales menores o 84 x ≤ iguales que 84/55. ©Shutterstock 55 16 x ≤ 11 Matemática 103 8.º EGB 19/11/24 09:13 Matematica 8 EGB Cultiva.indb 103 19/11/24 09:13 Matematica 8 EGB Cultiva.indb 103]]> 4 Indaguemos 7. Investiga acerca de la programación lineal y sus ⎛ x ⎞ ⎛ 1 ⎞ c) 5– ⎜ –1 ⎟ >3 ⎜x – ⎟ aplicaciones. Plantea una situación y explica en ⎝ 4 ⎠ ⎝ ⎠ 6 x < 2 clase. Matemática 107 8.º EGB 19/11/24 09:13 Matematica 8 EGB Cultiva.indb 107 19/11/24 09:13 Matematica 8 EGB Cultiva.indb 107]]> 7 A) 10 B) 25 C) 9,5 b) Se han consumido los 7/8 de un recipiente de 4 3 6 aceite. Si reponemos 38 litros, el recipiente que- da lleno en sus 3/5 partes. ¿Cuál es la capacidad c) – x 2 > 4 A) − 3 B) − 1 C) − 5 del recipiente? 5 9 2 2 _____________________________________________ 80 litros ©maya®EDUCACIÓN – Libro resuelto solo para fines didácticos – Prohibida su reproducción x 8 16 4 1 1 c) Para obtener un café de óptimo sabor, se mez- d) – > – A) B) C) – 11 33 3 3 3 clan dos tipos de este grano: uno de tipo A y otro de tipo B. Si la concentración del de tipo 6. Resuelve las siguientes inecuaciones. B debe ser mínimo un cuarto que del tipo A y se quiere conseguir como máximo 80 g de café x 3 1 a) – ≤ mezclado, ¿cuál es la máxima cantidad de café 2 4 2 del tipo A que debe tenerla mezcla? 64 gramos _____________________________________________ 5 x ≤ Coevaluación 2 8. Trabajen en parejas. El perímetro de la siguiente figura es de 36 metros. x 3 7 n b) – < x –2 Planteen un problema + 2 5 10 3 que se resuelva con una 3n − 1 ecuación. Resuelvan el 4n 4 13 problema y analicen 3 + 8 5n x > las respuestas. 3 − 8 4 n + 4 2 Metacognición para aprender a aprender Responde en forma oral o escrita. Contenido ¿Qué estrategias has utilizado para resolver una ecuación lineal? ¿Cómo decidiste qué operaciones realizar para despejar la variable en la ecuación? ¿Qué hiciste para verificar tus pasos y asegurarte de no cometer errores de cálculo? ¿Cómo manejaste los coeficientes racionales durante el proceso de resolución de la ecuación? ¿Cómo verificaste la solución obtenida para asegurarte de que fuera válida en el contexto del problema? ¿Cómo decides cuándo un término es un monomio y cuándo es un polinomio? ¿Qué estrategias utilizas para identificar el grado de un monomio o polinomio? ¿Cuál es tu enfoque para operar con monomios? Matemática 125 8.º EGB 19/11/24 09:13 Matematica 8 EGB Cultiva.indb 125 Matematica 8 EGB Cultiva.indb 125 19/11/24 09:13]]> AC Se traza una recta paralela al segmento AC, que pase por el vértice B. + > Si AB BC entonces B Se forman tres ángulos: > mCmA   Y α (1) m m ABCmγ = 180°, un án­ + α+ β gulo llano.  Interdisciplinariedad α (2) m γ= m CAB   Y m α= m BCA por ángulos alternos Matemática e A C internos. ingeniería civil Reemplazamos en (1) las igualdades (2): mCAB mABC mBCA 180 +  +  = ° ©Shutterstock b) Teorema: la suma de las medidas de los ángulos externos de un triángulo es igual a 360°. B En el triángulo se han formado los ángulos β  ABC;  BCA y  CAB. La construcción de triángulos con regla y α Prolongamos los lados; se forman los compás permite crear Y ángulos α ; β y γ por demostrar que: vigas reticuladas o α+ arriostradas, que son A C m  m β+ mγ= 360° utilizadas en grandes edificaciones para lograr Demostración: zonas voladas sin pilares y m  m BAC 180° m  mABC 180° m  m BCA 180° = = β+ α+ = γ+ una resistencia superior a   + = + γ+ las vigas macizas. Esta (1) m  m α+ m β+ m ABCm BCAm CAB 180°+ 180°+ 180° técnica de construcción (2) m  m β+ mγ+ 180°= 540° α+ con triángulos facilita la creación de estructuras Reemplazamos este valor en (1) y sumamos los ángulos del segundo miembro α+ ligeras y resistentes. de la igualdad; tenemos: m  m β+ mγ= 540°− 180° m  m β+ mγ= 540°− 180° m  m β+ mγ= 360° α+ α+ m  m β+ mγ= 360° α+ 174 Matemática 8.º EGB M.4.2.8. Clasificar y construir triángulos, utilizando regla y compás, bajo condiciones de ciertas medidas de lados y/o ángulos. 19/11/24 09:14 Matematica 8 EGB Cultiva.indb 174 19/11/24 09:14 Matematica 8 EGB Cultiva.indb 174]]>