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<Search><pages Count="44"><page Index="1"><![CDATA[9




                                                                                                                            EGB
                          Comunicacional                                         Socioemocional
                                                                                                                                                                                                                                          9     EGB
                                             Digital                 Matemática












                                                    COMPETENCIAS





                                                     INSERCIONES
                                                    CURRICULARES

                                                                                                                             Matemática











                                          Educación                    Cívica, Ética                                                                                                                                                            Matemática
                                        Socioemocional                 e Integridad

                            Desarrollo                 Seguridad Vial                Educación
                            Sostenible                  y Movilidad                  Financiera
                                                         Sostenible

























                   Contacto: 098 747 9990
               Correo: distribuidora_ra@hotmail.com
                Guayaquil: CC Albán Borja, Local 88]]></page><page Index="2"><![CDATA[Á
                                              Álgebra y funciones (II)








                      En esta unidad estudiaremos las expresiones algebraicas y sus operaciones.
                      Los polinomios son conceptos fundamentales en el ámbito de las matemáticas y el álgebra. Estas ex-
                      presiones algebraicas, compuestas por una combinación de letras y números, son importantes en  cam-
                      pos como la física, la ingeniería, la economía y la informática. Las operaciones con polinomios son
                      de fundamental utilidad en la resolución de problemas matemáticos de datos en muchas disciplinas.

                      Observa y recuerda

                      •   ¿Qué observas en la imagen? ¿Cómo estimas que el álgebra ha aportado al avance tecnológico?
























































               60    Matemática
                     9.º EGB





                                                                                                                    22/11/24   14:44
         Matematica 9 EGB Cultiva.indb   60                                                                         22/11/24   14:44
         Matematica 9 EGB Cultiva.indb   60]]></page><page Index="3"><![CDATA[©Shutterstock

















                                                                                                   El álgebra proporciona
                                                                                                   el marco matemático para
                                                                                                   el avance científico, desde
                                                                                                   la creación de algoritmos
                                                                                                   hasta el modelamiento y la
                                                                                                   resolución de problemas
                                                                                                   complejos, que coadyuvan
                                                                                                   al desarrollo de
                                                                                                   tecnologías modernas.






























                  ¿Qué aprenderemos?
                                                          Álgebra y funciones (II)




                                      Expresiones algebraicas                             Productos notables


                                                       Operaciones con                    Triángulo de Pascal
                             Polinomios
                                                          polinomios                     Teorema del Bionomio

                                                      Adición, sustracción,                División sintética.
                                                     multiplicación división              Cocientes notables



                                                                                                      Matemática   61
                                                                                                          9.º EGB





         Matematica 9 EGB Cultiva.indb   61                                                                         22/11/24   14:44
                                                                                                                    22/11/24   14:44
         Matematica 9 EGB Cultiva.indb   61]]></page><page Index="4"><![CDATA[–Sí, pero solo hasta cierto grado.




                                                                                                                    ©Freepik








                      1. En esta unidad  aprenderemos               –¿Te gustan los polinomios?
                      sobre expresiones algebraicas,
                      entre ellas monomios y polinomios.



                                                                   La transformación de tu cara
                                                                        cuando te enseñan …                         ©Freepik







                  ©Freepik


                                                            ¿Qué es una                  Los tipos de
                                                                                                          Los
                                                             expresión        Sus        expresiones    problemas
                                                            algebraica?    términos      algebraicas





                                              2. Aprenderemos a operar
                                              con monomios y polinomios,
                                              realizaremos sumas, restas,
                                              multiplicaciones y divisiones.




                      Mientras el profe habla de polinomios,               Mientras el profe habla de su
                                      nosotros...                               divorcio, nosotros…



                    ©Shutterstock














               62
               62    Matemática
                     9.º EGB




         Matematica 9 EGB Cultiva.indb   62                                                                         22/11/24   14:44
                                                                                                                    22/11/24   14:44
         Matematica 9 EGB Cultiva.indb   62]]></page><page Index="5"><![CDATA[3. A continuación, conoceremos               El cuadrado de un binomio
                             sobre la importancia de los                                                               ©Shutterstock
                             productos y cocientes notables
                             en el álgebra, porque permiten                                     2
                             simplificar y agilizar cálculos.                             (x + 2)  = (x + 2)(x + 2) = ...
                                                                                                             2
                                                                                             2
                                                                                          ... x  + 2x + 2x + 4 = x  + 4x + 4

                                                                                        Común y corriente




                                                                                          (x + 2)  = (x)  + 2(x)2 + (2)  = ...
                                                                                                     2
                                                                                                2
                                                                                                                2
                                                                                          ... = x  + 4x + 4
                                                                                               2
                                                                                          Gente notable


                                                4. Otro tema
                                                importante que                                                         ©Shutterstock
                                                trabajaremos es
                                                sobre el triángulo
                                                de Pascal y su
                                                relación con los
                                                coeficientes
                                                binomiales.




               5. Finalmente, realizaremos divisiones                            Blas Pascal viéndote
               entre expresiones algebraicas: monomios,                    decepcionado, porque no usas
               polinomios con monomios y polinomios
               entre polinomios.                                         el triángulo que se mató ideando.




                                                                                          Después del examen,
                                                                                               cuando escuchas         ©Shutterstock
                                                                                          a tus compas discutir
                                                                                                      qué tipos de

                                                                                                polinomios eran.




                                                                                                         Pero tú no
                                                                                                       recuerdas si
                                                                                                pusiste polinesios
                                                                                                      o polisílabos.



                                                                                                                   63
                                                                                                      Matemática   63
                                                                                                          9.º EGB




                                                                                                                    22/11/24   14:44
         Matematica 9 EGB Cultiva.indb   63
         Matematica 9 EGB Cultiva.indb   63                                                                         22/11/24   14:44]]></page><page Index="6"><![CDATA[Adición y sustracción de polinomios







               DUA. Representación

                                         La suma de monomios y polinomios es una operación fundamental en el álgebra
                          Socioemocional  y se utiliza principalmente para simplificar y reducir expresiones algebraicas.


                   Si no logras llegar a la   Esta operación se realiza sumando entre sí los términos semejantes; de no existir
                respuesta de un ejercicio   términos semejantes, la suma se deja expresada como tal, por ejemplo a + b.
                      o problema, no te   Analicemos el siguiente ejemplo. Los ordenadores
                    desanimes; vuelve a   actuales pueden ser mejorados en su desempeño
               intentarlo, sé perseverante
                         y no te rindas.  al aumentar su memoria RAM. Si un ordenador está
                                         diseñado  con  una cierta cantidad  de  RAM,  medida
                                         en gigabytes (GB), y existe la posibilidad de agregarle                    ©Shutterstock
                                         el triple, ¿cuál es la expresión algebraica que representa
                                         la cantidad de memoria inicial, lo posible de agregar
                                         y el total máximo de memoria que puede tener
                                         ese ordenador?

                 Interdisciplinariedad   Como no conocemos la cantidad de memoria colocada
                                         inicialmente, usamos x para representarla.                     Memoria RAM
                         Matemática
                      y computación      Si  la  cantidad  inicial es  x,  el  triple  queda  representado
                Los ordenadores tuvieron   con 3x.
                 un precursor mecánico   La cantidad máxima posible la obtenemos al sumar la inicial con lo posible
                    creado, en 1642, por   de agregar
                          Blaise Pascal.                                   x + 3x
                En nuestro país, en 1902,
               el matemático y abogado   Como los términos son semejantes, al reducirlos obtenemos: 4x
                Octavio Cordero Palacios
                  inventó un ordenador   Adición y sustracción de monomios
                mecánico al que nombró
                       ‘clave poligráfica’
                      o ‘metaglota’. Este   Sumar o restar monomios significa obtener una expresión algebraica después
                    dispositivo traducía   de reducir términos semejantes.
                 palabras de una lengua
                 a otra. También inventó   Ejemplos:
                un ‘dispositivo numérico
                                                                          2
                                                                                 y
                                                                             z
                                                                               −
                 de cálculo para obtener   a)  Suma los monomios  x3, 2, 4−  2  y  x , 7, 2.
                       la raíz cuadrada
                          de números’.   Solución
                                          x 3  2 2  +  y 2 + −  2 x )7 +−  y  Colocamos los signos de suma.
                                                           z (2 )
                                                  (4
                                                      2
                                                        +
               ©Wikimedia Commons        − x 3  x +  z 7  − x4  + z7  − y2      Destruimos paréntesis.
                                             + y2
                                            2
                                                                      Reducimos términos semejantes.
                                                                  3
                                                                           3
                                                                        −
                                         b)  Resta los monomios:  2−  ab de  5 ab
                                         Solución
                          Indaga sobre       3      3
                 Octavio Cordero Palacios   −  5 ab ( 2−  −  ab)      Identificamos el minuendo y el sustraendo.
                      y elabora una ficha   − 5 ab 2 ab               Destruimos el paréntesis.
                                             3
                                                   3
                                               +
                          bibliográfica.
                                             3
                                         − 3 ab                       Reducimos términos semejantes.
               64    Matemática
                     9.º EGB


                                                                                                                    22/11/24   14:44
         Matematica 9 EGB Cultiva.indb   64
         Matematica 9 EGB Cultiva.indb   64                                                                         22/11/24   14:44]]></page><page Index="7"><![CDATA[DUA. Representación

                  Adición y sustracción de polinomios

                   Al sumar polinomios, aplicamos las propiedades asociativa y conmutativa, de ma-
                   nera que reagrupamos términos semejantes para reducirlos.                            Matemática

                  Ejemplos:                                                                      La suma de polinomios
                                                                                                 se puede hacer en forma
                                       1                   2     1                               vertical. Para ello, es
                                              2
                                         3
                                                    3
                                                                   2
                                                                          2
                                                              3
                  a)  Suma el polinomio  x + 2 x y 3 y con  −  x −  x y 3 xy +  4 y 3            recomendable ordenar
                                                −
                                                                      −
                                      2                    5     4                               en forma descendente y
                  Solución                                                                       completar los polinomios.
                   1  x +2x y 3y +    2 x 3  1  x y 3xy + 4y 3
                                                     2
                      3
                                 3
                           2
                                              2
                   2                  5    4                 Sumamos.
                   1  x + 2 x y 3 y −  2  x −  1  x y 3 xy + 4 y Destruimos el parénteis (  ).
                     3
                                                  2
                          2
                                      3
                                           2
                                3
                            −
                                             −
                   2               5     4                                                          Necesidades
                                                                                                    educativas
                  Aplicamos la propiedad asociativa.
                                                                                                 Mantener contacto visual
                    1 x 3  2 x 3  + 2x y  1  x y  3xy +(  3y + 4y )                              es clave cuando hay
                                                              3
                                          2
                                                  2
                                   2
                                                         3
                    2    5             4                                                         habilidades diferentes
                                                                                                 o dificultades auditivas.
                   1  x +  7  x y 3 xy +  y  Reducimos términos semejantes.
                                   2
                      3
                                       3
                            2
                              −
                  10     4
                  b)  De la suma del polinomio P1 con el polinomio P3, restar el polinomio P2.
                                                                                                Interdisciplinariedad
                   P :  4a 4  3a 2  a+1
                    1
                                   2
                             4
                   P : 2a 5  a ( 7a +1) 3a 3                                                     Matemática
                    2
                                                                                                 y música
                   P : 10a 4  8a 3  3a 2                                                         Podemos encontrar las
                    3
                                                                                                 raíces de polinomios en
                  Solución                                                                       las teclas de un piano.
                                                                                                 Al pulsar una tecla se
                  i)   Sumamos los polinomios P1 y P3:  ii)  Simplificamos el polinomio P2:      activa un martillo que
                                                                                                 golpea una cuerda que
                                                            2a 5  a (  7a +1) 3a 3               vibra a determinada
                                                                   4
                                                                         2
                     −  4  4   − a  2  − a 3  +a  1                                              frecuencia (velocidad).
                      10  4  − a  8  3  − a  a 3  2         2a 5  a 4  7a 2  1 3a 3              Esta define la nota. La
                                                                                                 frecuencia es un número
                       6 a 4 − a8  3 − a 2  −a  + 1         2a 5  a +7a +1+3a  3                 y, de hecho, es la raíz de
                                6
                                                                  4
                                                                       2
                                                                                                 un polinomio que se
                                                                       3
                                                                  4
                                                                            2
                                                            2a 5  a +3a +7a +1
                                                                                                 define a partir de las
                                                                                                 características de la
                                                                                                 cuerda. Esto mismo
                                                                      3
                  iii)  Luego, restamos en forma vertical   iv)  El polinomio resultante  +a  6  4 −8a −6a 2 −a  1  sucede con cualquier
                                                                                                 instrumento u objeto
                     los polinomios, cambiando           −2a 5 + a −3a −7a 2   −1                que vibra.
                                                          de la operación es:
                                                                      3
                                                                 4
                     de signo al polinomio sustraendo.      5    4
                                                                       3
                                                        −2a  + 7a −11a −13a 2 − −1               ¿Qué nombre recibe el
                                                                               a
                             6 a 4 −8a −6a 2 − + 1                                               polinomio que tiene dos
                                   3
                                           a
                                                                                                 monomios?
                              4
                       −2a 5 + a −3a −7a 2   −1
                                   3
                                    3
                               4
                                            a
                      −2a 5 + 7a −11a −13a 2 − −1
                                                                                                      Matemática   65
                                                                                                          9.º EGB
                                                                                                                    22/11/24   14:44
         Matematica 9 EGB Cultiva.indb   65
         Matematica 9 EGB Cultiva.indb   65                                                                         22/11/24   14:44]]></page><page Index="8"><![CDATA[DUA
                Evaluación formativa                                                        Acción y expresión






               1.  Obtén la suma de los monomios M1 + M2 + M3.                                      21
                                                                                                 4
                                                                                           4
                                                                                                         4
                   Luego escribe la expresión algebraica resultante.  e)  −  14,6 mn; −  4  2,4 mn;7 mn;  mn  _____
                                                                                                    10
                   M1 :                                               f)  32 ; −  r 3  r 2 ;7 2; −  r 4  3    __________
                                                                                            r
                                                                                    3
                                                                                             3
                                                                                      −
                   M2 :                                                       x   5  x  1  x    7  x
                                                                      g)  −  2  ;      ;     ; −        _________
                   M3 :                                                       y   6  y  3  y    6  y
                                                                   4.  Utiliza la propiedad asociativa y conmutativa para
                   M1 + M2 + M3 = ___________________________
                                                                      calcular M1 + M2 + M3 + M4. Escribe la expresión
                                                                      algebraica resultante.
               2.  Suma los siguientes monomios.
                                                                      M1 :
                                    5
                         5
                                  5
                            3
                               5
                                         5
                   a)  2 xy − xy + xy xy       ______________
                                       −
                                                                      M2 :
                                43
                                       43
                                              43
                          43
                              2
                                     3
                   b)  16 ab  − ab  + ab  − ab   ___________
                                           5
                                                                      M3 :
                         34
                                    7
                                       34
                               34
                   c)  2 mn  + mn  − mn   +10 mn   __________         M4 :
                                               34
                                                   −1
                   d)  − pq8  7  −1 +15 pq −1 − pq −1 +12 pq   _______  M1 + M2 + M3 + M4 = _______________________
                                         7
                                                  7
                                       6
                                  7
                                                                   5.  Suma cada grupo de monomios.
                         2
                                 2
                   e)  5 xyz 3 − 25 x yz 3  −15 xyz 3 + 30 x yz   ______
                                                  2
                                          2
                                                     3
                                                                      a)  2   − ab;  3  2  − ab;  7 ab;  − ab  ______________
                                                                                              8
                                                                                         2
                                          5
                           5
                                                   −2
                   f)  −24 ac −2 +14 ac −2 + ac −2  − ac  _______
                                               7
                                                  5
                                        8
                                   5
                                                                      b)  3;  −   4 ;2 x 2 ;  − x 8  x 7  4 ;  − x  ___________
                                                                                                11
                                                                            4
                                                                                                   2
                                                                           x
                   g)  120 mnp −200 mnp +150 mnp −320 mnp   ______
                                                                           2       3       7       1
                                                                                                      2
                                                                                                        ;
                                                                      c)  −    2  − mn;  2  − mn ;  2  − mn;  mn mn 2
                                     6
                                                     −3
                   h)  18 ax −3  +22 ax −3 − ax −3  −30 ax −3 + ax   ______  3     2       6       2
                                                                           ___________________________________
                                            −4
                   i)  525 bn −5 −820 bn −5 − 405 bn −5 +bn  ______
                                                     −5
                          −4
                                   −4
                                                  −4
                                                                              2
                                                                                          2
                                                                      d)  0,5 st ; 0,15; −  3 st ;  t 2 ;0,35 ___________
                                                                                       4
               3.  Calcula la suma de cada grupo de monomios.
                                                                   6.  Obtén la diferencia.
                                            2
                                2
                                       2
                   a)  3 m ; −  2  4 m ; 7 m ; 2 m  _______________
                                  −
                                                                               5
                                                                                     − x  _____________________
                                                                      a)  De 8restar3    5
                                                                              x
                                            3
                          3
                                z
                                 3
                         z
                                      3
                   b)  20 ; − 80; 18 z ;12 z   ______________                   1
                                                                      b)  Restar  mn de − 5 mn    ______________
                                                                                2
                   c)   1,7  ab ;  4 ab ab ;  14  ab 2  _____________  c)       3            3      ____________
                                  2
                                      2
                           2
                                  ;
                              3          9                                De 109 a bc restar 10 a bc
                       3              3
                                         3
                                  3
                                              3
                   d)   xy 0,75  xy −   xy xy  ____________
                         3
                                           −
                            +
                       4              8
               66    Matemática
                     9.º EGB
                                                                                                                    22/11/24   14:44
         Matematica 9 EGB Cultiva.indb   66                                                                         22/11/24   14:44
         Matematica 9 EGB Cultiva.indb   66]]></page><page Index="9"><![CDATA[7. Obtén el volumen disponible de la caja de la figura.  11. Realiza las sustracciones.

                                                                                    4
                                                                                                           4
                                                                                                        2
                          3 x                                            a)  De 18 mn 3 − mn6  32 +6 restar − mn 3 +12
                          2
                       1 x
                      2                     _______________________                12                  7    1     5
                                                                         b)  Restar  x 3 − x 2 +2 de  x 4  +  x 3 + x 2  −
                                                                                         7
                                                                                   5                  10    2     3
                            1 x
                            2

                  8. Resuelve.
                                                                     12. Completa los términos de cada operación.
                      a)   a 2  { 7a +3ab  8a ( 4ab a ) }                a)       6a 2  –   a  + 8
                                  2
                                                       2
                                             2
                                                                                    a 2  + 7a + 10
                                                                                 – 2a 2  + 8a
                                  1    1              3
                      b)    2yz    xz + yz + 0,6yz      xz
                                  5    2             10                           7a 2  – a  + 22
                                                                         b)     1                       1
                                                                                  a 3  –   a 2 + 0,1a  –
                                                                                3                       5
                                                                                        3
                  9. Suma los polinomios.                                          a –   a 2  + 6a    –   1
                                                                                    3
                                                                                        4               2
                                       3
                      a)  7 x 3  + x 2 −1;  − x 3  − x 2  +8
                                            7
                              2
                                                                                        1
                                                                                           2
                                                                                5a 3  +   a +      a  – 3
                                                                                        2
                                                                               37  3    17      13
                          3     4      8     1                                    a   –    a 2  +    a –
                                         2
                                    3
                      b) − ac 2 + ac ;  ac − ac 3  + ac 2                       6        4       2
                          2     3      5     7
                                                                     13. Efectúa las operaciones indicadas con los
                                                                         siguientes polinomios:
                                                                                      2
                                                                              :
                                                                                        +
                                                                             Pax 2 2 2  − a x 3
                                                                                    2 2 2
                                                                              : Pa
                                                                             1 Pax −x:
                                                                                  − a x 3 3
                                                                                    2a x2
                                                                                        + +
                                                                             1 1
                                             2
                            3
                                                   2
                                       2
                      c)  3m  – 8 m p – p ;  12 m p + p  – 9                 P :10  2   2  −3
                                  2
                                                                             2 P 2 P :10ax:10 ax 2 2  + a x3 2 2  −3 3
                                                                                    + a x3a x3
                                                                                 ax +
                                                                                          −
                                                                             2
                                                                                    2
                                                                             P 3 P 3 − :12a:12 a xax 2 2 2 − 6
                                                                                      −
                                                                               − :12 2 2
                                                                                           − 6 6
                                                                                   a xax −xax
                                                                                      − −
                                                                             P −
                                                                             3
                                                                         a)  P1 + P2 – P3
                          2          2     1
                      d)    x  – 10x ;    x  –   x
                             3
                                  2
                                       3
                                             2
                          5          3     3
                                                                         b)  –P1 – P2 + P3
                  Actividad cooperativa
                  10. Trabajen en parejas y resuelvan.               Indaguemos
                      Formulen 4 polinomios que contengan términos   14. Investiga qué significa P(x). Luego, formula dos

                      semejantes.  Propongan operaciones entre           ejemplos de P(x).
                      ellos  e  intercambien con otra  pareja  para que
                      las resuelva.                                      Expón tu investigación junto con la suma y resta
                                                                         de ellos.
                                                                                                      Matemática   67
                                                                                                          9.º EGB
                                                                                                                    22/11/24   14:45
         Matematica 9 EGB Cultiva.indb   67                                                                         22/11/24   14:45
         Matematica 9 EGB Cultiva.indb   67]]></page><page Index="10"><![CDATA[Multiplicación de polinomios







               DUA. Representación

                                         Al igual que la suma, la multiplicación de monomios y polinomios constituye una
                  Interdisciplinariedad
                                         herramienta fundamental en el álgebra y se utiliza para simplificar expresiones
                                         algebraicas y modelar situaciones en la vida real.
                          Matemática
                        y mecatrónica    Esta operación consiste básicamente en aplicar la propiedad de producto
                 En Ecuador, estudiantes   de potencias de igual base.
                     universitarios de la
                especialidad Electrónica y   Vamos a ver cómo se multiplican monomios y polinomios.
                   Mecatrónica elaboran   Para una competencia de robots, un estudiante creó un robot manipulador de forma
               robots que son controlados   prismática, cuya cara frontal es cuadrangular y sus caras laterales son rectangulares.
                    a través de celulares.   Si uno de los lados del rectángulo de las caras laterales es 1 cm más grande que
                 Estos estudiantes crean   el otro lado, ¿cuál es la expresión algebraica que expresa en forma aproximada
                       sus robots con el   el volumen del robot?
                propósito de competir en
                       ferias científicas.   Lo primero que hacemos es esquematizar la forma del robot.


                ©Shutterstock






                          Dron robótico  Como no conocemos el valor de ninguna de las aristas, asignamos la letra x como
                                         medida de las aristas de las caras cuadrangulares. De acuerdo con el enunciado,
                                         la arista más larga de las caras rectangulares es 1 cm más que la corta, por lo tanto,
                                         mide x + 1.

                          Matemática


                     En el estudio de las                            x
                      propiedades de la                                           x + 1
               potenciación de números                                   x
                reales, se mencionó que:

                     m
                  n
                   ⋅
                xx =    x n + m          Para calcular el volumen de este prisma, consideramos la cara cuadrangular como
                                         base y calculamos su área, que multiplicaremos luego con la altura para
                  n
                    m
                xx +   a) =  x  n  + m   ax n  obtener el volumen.
                               +
                  (
                                             x xx 1)
                                         V =⋅   ⋅ (  +
                                         Aplicamos la propiedad de la potenciación de bases iguales.
                                              2
                                         V =  x (⋅  x 1)+
                      Ética e integridad
                                         Aplicamos la propiedad distributiva y obtenemos el volumen requerido.
                 Actúa de manera ética y      3   2
                    sé ejemplo para tus   V =  x + x
                 compañeros. La cultura
                      ética se construye   Cuando multiplicamos monomios entre sí, multiplicamos sus coeficientes; luego,
                    colectivamente y tu   obtenemos la parte literal al aplicar la propiedad de la potenciación de producto
                    influencia puede ser   de bases iguales.
                          significativa.


               68    Matemática
                     9.º EGB





                                                                                                                    22/11/24   14:45
         Matematica 9 EGB Cultiva.indb   68                                                                         22/11/24   14:45
         Matematica 9 EGB Cultiva.indb   68]]></page><page Index="11"><![CDATA[DUA. Representación

                  Ejemplos:
                                                                                                        Matemática
                  Multiplica los siguientes monomios.
                                                                                                 La  multiplicación de
                                                      3               1                          polinomios puede ser
                                                                           23
                                                          53
                                               5
                                 36
                                                         −
                                                                          −
                  a)  ab4  2  con  ab   b)    5 xy con   yz  y con   −  mx z                     resuelta en forma vertical.
                               8
                                           −
                                                      10              6
                                                                                                       x 3  2  + x −1
                                                                                                          2
                  Solución
                                        +
                        2
                             3 6
                  a) 4 ab ab =   (4 8)( a 2 3 )( b ) 32 ab
                                                    5 7
                                            1 6
                                             +
                          8 ⋅
                                                =
                                   ⋅
                                                                                                           x − 6
                  b) (  5x y )  3  y z 3  1 mx z 3  =  5  3    1  x (  5  2 ) y (  1 5 ) z (  3 + 3 )  x 3  3  +  x 2  2  −  x
                                  5
                          5
                                              2
                              10         6               10    6                                           2
                                                                                                           −
                                                                                                                +
                                                                                                      −  18 x 12 x 6
                        1                                                                           3     2
                                                                                                                +
                             4
                          3
                            −
                      =  xy z  6                                                                   x 3  − 16 x − 13 x 6
                        4
                   En la multiplicación de un número por un polinomio, un monomio por un polino-
                   mio o un polinomio por otro, aplicamos la propiedad distributiva.
                                                                                                    Necesidades
                  Realiza las operaciones.                                                          educativas
                         5
                                2
                  a) − 5( ab 4−  ab + 1)  c)                                                     Cuando hay dificultades
                                                                                                 visuales o una
                                   n 6)
                         23
                  b) 7 mn (− 2 m 2 −                                                             discapacidad visual, la
                                +

                                                                                                 mejor forma de ayudar
                  Solución                                                                       es proporcionando
                                                                                                 explicaciones de tipo
                  En los tres casos aplicaremos la propiedad distributiva e iremos multiplicando   descriptivo, concreto,
                  monomio por monomio.                                                           preciso y claro.
                             4
                  a) − ab5 (  5  − ab 2  +=  5  +20 ab 2 −5
                                   1
                                    ) − ab5
                                                                                                         Socioemocional
                                                               23
                        23
                                                       24
                                 2
                  b) 7 mn  (− m2  + n 6 ) = − mn14  33 +14 mn  − 42 mn                           Es importante que
                                    −
                                                                                                 realices todos los
                                                                                                 ejercicios que te
                                                                                                 propongan resolver.
                                                   2
                           2
                                                            − + 6
                  c) ( x3  2 + x  −1 )( −x 6 )= x3  3 −18 x 2  + x 2  −12 xx                     Conforme avances
                                                                                                 con los contenidos,
                                                                                             ©Freepik  adquirirás destrezas que
                                                                                                 te ayudarán a hallar la
                  Como podemos observar, este polinomio resultante tiene términos                solución de ejercicios
                  semejantes, los cuales deben ser reducidos y el producto                       más complejos
                  corresponde a:                                                                 y a ganar seguridad.
                                          16x8
                        2
                  ( x3  2  + x  −1 )( −x 6 ) =  x 3x 3  3 3 − −1  x − + 13 −x2  x 6 xx12  − + 6
                                                   2
                                              2 2
                                                    +
                                                                                                      Matemática   69
                                                                                                          9.º EGB
                                                                                                                    22/11/24   14:45
         Matematica 9 EGB Cultiva.indb   69                                                                         22/11/24   14:45
         Matematica 9 EGB Cultiva.indb   69]]></page><page Index="12"><![CDATA[DUA
                Evaluación formativa                                                        Acción y expresión






               1.  Realiza los productos entre monomios.           3.  Obtén el área total.
                   a)   2a⋅ 5a =  ___________________________         a)            a            a             a

                                                                              x            x             x
                   b)   3  x ⋅  10 xy =  _______________________         ____________________________________________
                           2
                                 5
                        5    9                                        b)
                   c)   3m ⋅  6m = ______________________                  y      y     y      y     y
                                  3
                           2
                                                                         ____________________________________________
                           4
                                2
                             2
                              a
                   d)  (− 2 a )( )(−  a 5 ) =   __________________    c)                1 x              1
                                                                                       3                 3  x
                                                                               x                 x
                                 2
                           5
                   e)  (−  y 3 )(−  y 2 )(− 4 y) = __________________     ____________________________________________
                   f)  ( 0,75 xy)(− 2 xy )(− 5 xy ) =  ____________  4.  Multiplica los monomios por los polinomios.
                            3
                                            3
                                     4
                                   2
                                                                      a)  − x2(  3 − x 2  + x −1)  ___________________
                                                                                      4
                                                                                 6
                            32
                                          32
                                              3
                   g)  (− 0,5 ay )( mny ( ) − 2 m ny ) =   __________
                                                                                          32
                                                                      b)  5(  54  − ab  3  43 − ab  8 ab )  _________________
                        1       2       22
                                  4
                          3
                   h)    r s     s t  1   r t = ____________                3   6  6  8  5  1  4
                                            6
                        8      11       3                             c)    2   5 m + m     6 m  2  ___________
                                                                                      3
                                                                                            3 2
                   i)   ( 32 a 5 )( 22 b 3 )( −52 ab −1 ) =  ___________  d)   −25 ( − 5 xy + 2 xy  − 45 xy 3 −1 )
                                                                                     2
                                                                                                      2
                   j)  (–5x )(2x)    ___________________________           ___________________________________
                          2
                                                                   5.  Obtén los productos.
                   k)  (–a b )(4a b )    ________________________
                               3 3
                         2 2
                                                                      a)  2 x 2 (− x3  3 + x 2  − x  +  ) 4  _______________
                                                                                         6
                                                                                    2
                   l)  6m (–12mn)     ________________________
                         2
                                                                               (
                                                                              2
                                                                      b)  −xy x  4 − y 4  + z 2  − x y 2 + y z  )
                                                                                             2
                                                                            2
                                                                                                   2 2
                   m)  (–3a b c)(–14a b)     ____________________
                          2 3
                                   2
                                                                           ___________________________________
                                                                                                    ) − a2)
                                                                                3
                                                                                     2
                                                                                          3
                                                                                               7
                                                                                                 −
                   n)  – 2xyz( –9xy )     __________________          c)   (−a 6 + a 5  − a 4  + a 2 + a 6(  2
                                2
                                  3
                                                                           ___________________________________
                   o)  0,2a (a b)(8b )  ________________________
                            2
                          5
                                 2
                                                                                            3
                                                                      d)   16 ab 2  9  a 2  6  b + ab  3 c
                                                                                         2
               2.  Halla los siguientes productos.                        3      8    5     8    2
                                                                           ___________________________________
                   a)                   ____________________
                                                                      e)   0,6s t  5  st  1 s + 15 t  6
                                                                                          4
                                                                              2 2
                      (
                            n 2
                             +
                   b)  − 0,3 x )(  x 5  3 n − 2 ) =  __________________           2    6     2
                                                                           ___________________________________
                   c)  ( −  7 m x −  6 )(  7 m − x + 6 )   _______________  f)   2 a x −1 ( 3 a x +2 −22 a −−1 − 2 a x +1 )
                                          =
                                                                                              x
                   d)   2 x  n  3  5 x 4n + 3  ( 2,5x)=  ____________      ___________________________________
                        5         3
                                                                      g)  (2x  + 4x  – 3x + 1)(–3) __________________
                                                                                 2
                                                                            3
               70    Matemática
                     9.º EGB
                                                                                                                    22/11/24   14:45
         Matematica 9 EGB Cultiva.indb   70
         Matematica 9 EGB Cultiva.indb   70                                                                         22/11/24   14:45]]></page><page Index="13"><![CDATA[h)  (7x  – 6x  + 2x – 5)(4) ___________________  9.  Multiplica.
                                3
                            4
                                                                                          2
                                     2
                                                 2
                            4
                                3
                      i)  (2x  + 4x  – 3x  + 2x – 11)(3x )               a)  −  x 3  4  +  x 2  3  − 4 x +  x 2 − 1
                                                                                          2
                                                                             ×           x −  x 5 + 3
                           ___________________________________
                                                2 2
                      j)   5a (5a (  3 3 –  2 2  4ab –7ab 2 2 –7b ) –b )  – ab
                                                   2 2
                                                  ab
                                            3 3
                             – a b + 4a b +
                                                7 7
                                                                                3
                                                                                      2
                           ___________________________________           b)   3  m −  2  m n+  1 mn +  1 n 3
                                                                                              2
                                                                             4     5      3      2
                      k)   (  4  + x 3  − 4x 2  + − 3 ) 2x  ⎛ 3 x ⎞ ⎟ ⎠      ×               2 m 3+  n
                                         x
                                              ⎜
                                              ⎝ 2
                           ___________________________________

                  6.  Resuelve aplicando la propiedad distributiva.           x 2  m 3  − 4 x m 2  −  x 3  m 1  −  x 2  m
                                                                                              +
                                                                                       +
                                                                                +
                                                                         c)       1       1
                                                                                      −
                                                                                             −
                                                                                                   −
                                      4
                      a)  ( x2  − 4  ( ) x6  2  − x  +  ) 3                  ×    2  x m 1  −  4  x m 2  +  x m 3

                      b)  ( −mn 2 )(am an 3 )
                                         −
                                     −
                                                                     10. Realiza las siguientes operaciones, si:
                                                                         Q = x  – 10x – 12x ;   P = 8 – 10x – 12x ;   R = 5x – 7
                                                                                                         2
                                                                             3
                                                                                        2
                               ( )
                                 2
                      c)  ( −xy xy xy  2 − xy )
                                   +
                                                                              PR)
                                                                         a)  ( ⋅  –Q =
                               ( )
                                          22
                                     3
                      d)  ( +ab a 4  − a ba b  − ab 3 +b 4 )
                                       +
                                                                              QR)
                                                                         b)  ( ⋅  –P =
                      e)  (2x  + 4x  – 3x + 1)(x  + x + 1)           11. Selecciona la respuesta correcta.
                                          2
                            3
                                2
                                                                         ( x4  2 − x 7 )(−x 2 + x  −  ) 6
                                                                               3
                                                                                          2
                                                                                 +
                                                                                  1
                                                                                 1
                                                                         a) − x4  4  + x 3 +37 x 2  −32 x  + 42
                  7.  Encuentra el área de las figuras.                        4    3     2
                                                                                 1
                                                                                  1
                                                          3a             b)  4 x  + x  −37 x  +32 x − 42
                      a)                     c)
                                      4x          2a                     c)  4 x 4 − x 3  +37 x 2  +32 x − 42
                                                                                  1
                                                                                 1
                                                        2
                             2x+3                       x 8  +12 x       d)  − x4  4  + x 3  −37 x 2 +32 x − 42
                                                                                    1
                                                                                   1
                                                       3a+2b
                           _____________                             Actividad cooperativa
                                                   _____________
                      b)          2y                                 12. Trabajen en parejas y resuelvan.
                                             d)               5x         Formulen  dos polinomios  P(x), uno de cuarto
                            2y+3                     3x+2                grado y otro de tercer grado, con coeficientes
                           _____________           _____________         fraccionarios.  Intercámbienlos  con otra pareja
                                                                         para que los multiplique.
                  8.  Calcula el área sombreada.
                         3x–2                                        Indaguemos
                                          _____________________      13. Investiga el proceso que se debe seguir para
                           x
                                3x+5                                     obtener el cuadrado y cubo de un polinomio.
                                                                         Explica en clase con un ejemplo.
                                                                                                      Matemática   71
                                                                                                          9.º EGB
                                                                                                                    22/11/24   14:45
         Matematica 9 EGB Cultiva.indb   71
         Matematica 9 EGB Cultiva.indb   71                                                                         22/11/24   14:45]]></page><page Index="14"><![CDATA[DUA
                        á                                                                    Participación




               Estrategia: Emplear polinomios


                 Pepe debe cubrir su pupitre con un plástico. Desconoce las medidas exactas,
                 pero sabe que el largo de su pupitre es el doble de su ancho. Además, para el                      ©Shutterstock
                 doblado, considera que el plástico debe medir 10 cm a cada lado. ¿Cuál es el
                 polinomio que expresa la superficie del plástico en función del ancho
                 del pupitre?



                 1.  Comprende el problema y plantea una estrategia.
                                                                                                    10
                    a)   ¿Qué pregunta el problema?
                                                                                                            x
                        ____________________________________________________________________
                                                                                        10
                        ____________________________________________________________________
                                                                                                  2x
                    b)  ¿Qué estrategia plantearías para la solución?
                         Emplear polinomios. Primero expresar el largo y el ancho en función de una cantidad desconocida,
                        sumada al valor conocido y luego aplicar la fórmula del área de un rectángulo.


                                                                                No
                                       ¿Tienes claras la pregunta y la                 Vuelve a leer e interpretar
                                         estrategia de solución?                       el problema.


                                                         Sí

                 2.   Aplica la estrategia y resuelve.
                    Planteamos las medidas del pupitre:   Anotamos el área del plástico:

                    Ancho: x         Largo: __________  A = largo x ancho;
                    Escribimos las medidas del plástico:  A = _________ ___________
                    Ancho: x + 10    Largo: 2x + 10    Efectuamos  el producto  y reduci-
                                                       mos términos semejantes:

                                                       A = ____________________________ __
                                                       A = ____________________________ __



                                                                                No     Vuelve a leer la información
                                       Tienes claro cómo obtienes                      del problema o revisa tu
                                          los datos y el proceso.                      estrategia.


                                                         Sí
                 3.   Verifica y responde la pregunta.

                                                                                                     Fin
                    El polinomio es: A = ___________________




               72    Matemática
                     9.º EGB





                                                                                                                    22/11/24   14:45
         Matematica 9 EGB Cultiva.indb   72                                                                         22/11/24   14:45
         Matematica 9 EGB Cultiva.indb   72]]></page><page Index="15"><![CDATA[Emplear polinomios


                  1.   ¿Cuál es el perímetro de las siguientes figuras   2.   ¿Cuál es el área de las siguientes figuras?

                      planas?                                            a)
                      a)                                                                 7x + 8


                         5x +  2  12x +  15                                                          6x − 11


                                                   3x −  2  17x −  6










                                                                         b)
                                                                                       2
                                                                                     3x + 16
                      b)
                                                                                                     6x −+   9
                                                                                                          x
                                                                                                        2
                             3
                                                     3
                          3x − 11x 2               4x − 7x + 5





                                            2
                                      3
                                    8x − 14x + 9x + 8
                                                                     3.   Resuelve el siguiente problema.
                                                                         Una empresa fabrica cajas de cartón para envasar
                                                                         jugos. Se sabe que estas cajas tienen base
                                                                         cuadrangular y que el alto es 4 veces el lado de la base
                      c)                                                 más 3 cm.

                                        2 x −+  1                        Realiza un esquema de la caja y luego escribe
                                           2
                                              x
                                        3                                el volumen de la caja en función del lado de la base.
                             4 x − 3
                             5
                                                      1 x + 4x
                                                        2
                                                      3
                             1 x − 7
                                2
                             3                   3  x −  1 x + 6
                                                    2
                                                 4     2









                                                                                                      Matemática   73
                                                                                                          9.º EGB





                                                                                                                    22/11/24   14:45
         Matematica 9 EGB Cultiva.indb   73                                                                         22/11/24   14:45
         Matematica 9 EGB Cultiva.indb   73]]></page><page Index="16"><![CDATA[Productos notables I







               DUA. Representación



                        Educación        Los productos notables son ciertas multiplicaciones de polinomios que se utilizan
                        financiera       para simplificar y reducir expresiones algebraicas, las cuales son llamadas notables

                                         debido a su frecuente aparición y uso en problemas matemáticos y algebraicos.
                        La matemática    Pueden ser escritos por simple inspección, es decir, sin realizar la multiplicación.
                    es fundamental para
                  la gente que vive en el   Los productos notables facilitan el proceso de multiplicación mediante reglas
                campo, pues les ayuda a   específicas dadas.
                     medir sus terrenos,
               dividirlos en parcelas; para   Veamos algunos productos notables.
                  sus plantaciones; para
                establecer la cantidad de   Cuadrado de un binomio
               semillas que necesitan, los
                 productos que venden,   En el diseño de un circuito impreso se ha tomado en consideración usar una placa
                           entre otros.  de forma cuadrangular, de la cual se sabe a ciencia cierta que se dejará un margen
                                         de 5 mm, tanto en la parte inferior como del lado derecho. De ese margen hacia
                                         adentro se podrán colocar pistas de cobre y los componentes electrónicos
                                         necesarios. ¿Cuál es la expresión algebraica que representa el área de esa placa?

                                         Elaboramos un esquema de la forma de la placa y colocamos las medidas
              ©Shutterstock              proporcionadas como datos. Al valor desconocido le asignamos la letra x.


                                                         x    5               El gráfico nos muestra un cuadrado
                                                                              cuyo lado mide x + 5. Por lo tanto, su
                                                   x
                                                                              área es:

                                                   5                          A = x (  + 5)( x + 5)
                   Memorias de computador
                                                                                 (
                                                                              A = x 5) 2
                                                                                   +
                                         Otra forma de obtener el área de la placa es dividiéndola en cuatro áreas.
                 Interdisciplinariedad
                                                                              Obtenemos el área total al sumar
                          Matemática                     x    5               las cuatro áreas.
                           y robótica
                                                                                      5
                                                                                          5
                                                                                =
                   A fin de que un robot           x    x2   5x                Ax  2  + x + x 5 2
                                                                                            +
                realice las funciones para
                     las que fue creado,                                      Reduciendo términos semejantes,
                    debe contar con un             5    5x    25              tenemos:
                     circuito de control.                                      Ax  2  +10 x +25
                                                                                =
                 Esos circuitos de control
                  se diseñan y luego son
                 elaborados en placas de   Como se trata de la misma placa, podemos decir que:
                 circuito impreso, donde
                                               2
                                                   2
                                                         +
                se colocan los elementos   x ( + 5) = x + 10 x 25
                electrónicos. Estas placas
                   son hechas a base de   Al analizar los dos lados de la igualdad, podemos concluir que en el segundo
               cobre, para la conducción,   miembro tenemos el cuadrado del primer término, más el doble producto del
                y de un material aislante,   primer término con el segundo y el cuadrado del segundo término.
                     como la baquelita.


               74    Matemática
                     9.º EGB





                                                                                                                    22/11/24   14:45
         Matematica 9 EGB Cultiva.indb   74                                                                         22/11/24   14:45
         Matematica 9 EGB Cultiva.indb   74]]></page><page Index="17"><![CDATA[DUA. Representación

                  Generalizando, tenemos que el cuadrado de un binomio es igual a:
                                                                                                     Seguridad vial


                                                                                                 A pesar de que en las
                                                                                                 ciudades se toman
                  Ejemplos:                                                                      medidas para aliviar la
                                                                                                 congestión, como las
                  Desarrolla los siguientes binomios al cuadrado:                                restricciones de
                                                                                                 circulación, estas resultan
                                                                2
                  a)  y (  + 9) 2              c)  0,3r  4  3 s t                                insuficientes. Por ello se
                                                            3 2
                                                          5                                      debe fomentar soluciones
                                                                                                 alternativas, como
                                                   1         2                                   compartir el auto, trabajar
                              2
                  b)   ( x5  − y 2 )                 d)    2 x m +1  2n                          desde casa y promover la
                          3
                                                                                                 bicicleta.
                  Solución
                                                      2
                                               2
                  Aplicamos la regla  xa(  ± ) 2  = x 2  ± axa , observando el signo.
                                                   +
                                                                                                        Matemática
                  a)  y 9) 2  = y 2  + y()(9)9 2  = y 2 +18 y  +81
                     (
                                  2
                       +
                                        +
                                                                                                 Para la demostración
                     (
                  b)   5  −  2 ) x  2  ( =3  ) x 5  2  ( ( −y  y 3  2 ) ) x 5  ( +2  2 ) y 3  2  =  x 2 − 25  30 xy 2 + y 4  geométrica de
                                                                      9
                                                                                                      )
                                                                                                       (
                                                                                                 ( xa xa)   = x 2 − a ,
                                                                                                                   2
                                                                                                   +
                                                                                                         −
                              3    2   1    2    1      3       3     2                          construimos un
                                                          3 2
                                                                  3 2
                                3 2
                  c)   0,3r  4  s t  =   r  4  2   r  4  s t  +   s t                            rectángulo de medidas
                              5        3         3      5       5
                                                                                                 (x + a) y (x – a). Luego,
                                     1     2        9
                                              4 3 2
                                                       6 4
                                    = r  8  r s t +   s t                                        trazamos una recta, de
                                     9     5        25                                           manera que obtenemos
                                                                                                 dos trapecios.
                                  2
                                            2
                  d)    1 x m+1  2n  =  1 x m+1  2  1 x m +1  ( 2n)+ 2n) 2                              x     a
                                                            (
                        2             2          2
                                    1          m+1                                               x – a          x – a
                                  =   x 2m +2  2nx  + 4n 2                                            a
                                    4                                                                      x
                  Producto de la suma por la diferencia de dos términos                          Separamos los trapecios.
                                                                                                 Giramos el primero a la
                  Es el producto de dos binomios conjugados o producto de la suma por la diferencia   izquierda y luego hacia
                  de dos términos: ( +ab )( −ab ) = a 2 −b 2                                     abajo, de modo que al
                                                                                                 unirlo al segundo
                  Ejemplos:                                                                      trapecio, obtengamos la
                  Encuentra el producto de los binomios conjugados.                              siguiente construcción:
                                                  4
                                                n
                  a)  (2 a − b5)(2 a + b5)  b)    1 y + x m  0,25y  n  4  x m                        x – a
                                             4    5              5                               x       a  a
                  Solución                                                                                    x – a
                  Observamos que los binomios sean conjugados, es decir, que tengan términos igua-  a   x
                  les con signo contrario, y aplicamos la regla:  xa xa(  + )(  − ) = x 2 − a 2
                                                                                                 Aquí observamos un
                                      (2
                  a) (2 a − b5)(2 a + b5) = a) 2  − b5) 2  = a 2  − 25 b 2                       cuadrado de lado x, al que
                                                   4
                                            (
                                                                                                 le falta un cuadrado de
                       1     4             4       1    2   4    2   1     16                    lado a. Es decir, tenemos
                  b)     y + x m   0,25y n  x m  =   y n      x m  =  y 2n    x 2m               que:
                          n
                       4     5             5       4        5       16     25
                                                                                                      (
                                                                                                 ( xa xa)   = x 2 − a ,
                                                                                                      )
                                                                                                                   2
                                                                                                         −
                                                                                                   +
                                                                                                      Matemática   75
                                                                                                          9.º EGB
                                                                                                                    22/11/24   14:45
         Matematica 9 EGB Cultiva.indb   75                                                                         22/11/24   14:45
         Matematica 9 EGB Cultiva.indb   75]]></page><page Index="18"><![CDATA[DUA
                Evaluación formativa                                                        Acción y expresión






               1.  Expresa el área de cada cuadrado.               4.  Desarrolla los binomios.
                   a)                     c)                                3   2  2
                               ______                 ______          a)   8 a  3   =   ________________________

                        x − 3                 3  x +1                                  2
                                                                                  1
                                              4                       b)   0,16x + y 2  =   ____________________
                                                                                3
                   b)          ______     d)          ______                      2

                        y 2  + 4              1 x  +7                 c)   5  w 2  0,3z 3  2  =   ____________________
                                                                           4
                                              3
               2.  Completa la siguiente tabla.                    5.  Resuelve los productos notables.

                                                                                  2
                     x    y    x2   2xy   y 2  x  + 2xy + y 2         a)  ( x m  − y n ) =    ________________________
                                                2
                    2a   3b                                                         2
                                                                      b)  (a m +3 +b n +2 ) =    ______________________
                    6y   9z
                                                                                     2
                                                                      c)  ( r2  x +1 − s x −1 ) =    _____________________
                                                                                4
                    4b   a2
                    1 r     2                                         d)    5a 2n  1 b 3m  2  =   ___________________
                    2      s 2                                                    2
                                                                   6.  Resuelve y  escribe la medida del lado del
               3.  Obtén los productos notables.                      cuadrado, cuya área es la expresión dada.

                             2
                                                                                  +12
                   a)  ( −x 2 y ) =    _________________________      a)  9  2  + u  u 4    ________________________
                             2
                   b)  ( a3  +7 ) =    _________________________      b)  64 x 2  − 96 x + 36     _____________________
                              2
                                                                               4
                                                                                  +
                   c)  ( x6  2  −1 ) =    _________________________   c)   4  y 2 − y 9      _______________________
                                                                          9
                                                                               8
                              2
                   d)  ( ab2  +5 ) =     ________________________     d)  4 x 2  − x  +  4      _______________________
                                                                               3    9
                              2
                   e)  ( rt3  2  − 2 ) =     ________________________  7.  Completa la siguiente tabla.
                               2
                            2
                   f)  ( x4  3 + y ) =    _______________________
                                                                        a      b       (a + b) 2    (a + b)(a – b)

                                2
                   g)  ( m8  6 + n ) =    _______________________
                             3
                                                                        m      2
                                 2
                             4
                   h)  ( uv7  3  + r 4 ) =    ______________________
                                                                        2x     3
                                    2
                   i)  ( 5 y 2  − 10 z 2 ) =  ____________________
                                                                        p 2   4q
                                 2
                   j)   ( 2 a − 2 b ) =   ______________________
                       3

               76    Matemática
                     9.º EGB





                                                                                                                    22/11/24   14:45
         Matematica 9 EGB Cultiva.indb   76                                                                         22/11/24   14:45
         Matematica 9 EGB Cultiva.indb   76]]></page><page Index="19"><![CDATA[8.  Aplica la propiedad asociativa para convertir      g)  (r m +1 + 25 n )(r m +1 −25 n ) =  ________________
                      a cada trinomio en binomio. Luego  realiza el
                      producto. Sigue el ejemplo:
                                                                         h)   ( a8  x −1 − b x +1 )( b3  x +1 + a x −1 ) =  ___________
                                                                                    3
                                                                                                8
                                2
                      ( x + y 3z) = ( x + y) 3z  2
                                           (
                                = x + y) 2  2 x + y) 3z ( ) 9z 2         i)   2  x n 2 1  y  1  2  x n 2 1  1  =  __________
                                  (
                                                                                               + y
                                                                                    4
                                                                                          7
                                                                                                 4
                                                                              7
                                   2
                                = x +2xy + y 2  6xz 6yz 9z 2
                                           (
                                       2
                      a)   ( 5x +3y +2z ) = 5x +3y) +2z 2  2         11. Escribe el término o los términos faltantes para
                             2
                                      2
                                              2
                                                                         que se cumpla el producto.
                                                                                                               4
                                                                         a)  ( a3  −  ) b 2       = a 2  −12 ab + b 2
                                                                                                    9
                                                                                             4
                                                                                        4
                                                                                                 +
                                       2
                      b)  (  3x + 2y +1) = (  3x + 2y) +1  2             b)  ( xy2  +  )  = x 2 − xyy 2
                                                                         c)  ( x7  − 4  ) y    = 49 x 2  −16 y 2
                                                                         d)   1 x +2   1 x 5    2 =  1  x 10  4
                                                                                5
                                                                              8        8            64
                  9.  Expresa el área de las figuras.
                                                                         e)   ( x 2 m − 33  2 m ) =  −9
                                                                                   )( + x
                      a)                      _________________
                                     x − 2
                                                                     12. Determina los siguientes productos notables.
                            x + 2
                                                                                        2
                                                                                      2
                                                                             a
                                                                         a)  ( –2 b +3 c )    _______________________
                      b)                      _________________
                                                                                  2
                                 x 2  + 3                                b)  ( –2    ____________________________
                                                                                 )
                                                                              x
                                                                         c)  (6 x + 2 y) ( ⋅ 6–2 y)   ___________________
                                                                                        x
                           x 2  − 3
                      c)           1          _________________          d)  (  x +10    __________________________
                                                                                     2
                                                                                    )
                                   2  y  −10
                           1 y +10                                       e)   ( 2 + 3 x) ( ⋅  2– 3 x)    _______________
                           2
                  10. Obtén el producto notable.                         f)   ( 20 m–5 n) 2    ______________________
                      a)  ( −x 3 )( +x 3 ) =  _______________________
                                                                     Actividad cooperativa
                      b)  ( x2  − 6 )( x2  + 6 ) =  _____________________  13. Trabajen en parejas y resuelvan.
                                                                         Organicen  grupos de tres integrantes para
                               3
                                       6
                      c)  ( a6  2  + b )( b3  − a 2 ) =  _________________  explicar por qué  (2y +  3)  (–2y  –  3)  es igual a
                                                                         –(2y  +  3)2,  y  por  qué  (7x  –  2y)(–7x  –  2y)  =
                         (
                      d)  0,1 x 2  +0,2 y 3 )(0,1 x 2  −0,2 y 3 ) =   __________  4y2 – 49x2, usando productos notables.
                                                                     Indaguemos
                                 1
                      e)   1  z + y 2  1  z  2  1  y 2  =   ___________
                              2
                           8     3     8     3                       14. Investiga la demostración del producto notable
                                                                       (x – a)2. Expón en clase.
                      f)  ( −m 1,4 a )( m +1,4 a ) = __________________


                                                                                                      Matemática   77
                                                                                                          9.º EGB





                                                                                                                    22/11/24   14:45
         Matematica 9 EGB Cultiva.indb   77
         Matematica 9 EGB Cultiva.indb   77                                                                         22/11/24   14:45]]></page><page Index="20"><![CDATA[Productos notables II







               DUA. Representación

                                         En este subtema continuamos revisando otros productos que siguen un patrón para
                                         su resolución y son considerados notables.
                                         Los productos notables están íntimamente relacionados con fórmulas de factoriza-
                                         ción, por lo que su aprendizaje facilita la solución de diversas multiplicaciones.
                                         En este tema, se estudiarán el producto de la forma (x + a)(x + b) y el binomio
                                         al cubo.

                                         Producto de la forma (x + a)(x + b)


                                         Una mano robótica, al ser un dispositivo electrónico, requiere de una placa
              ©Shutterstock              de circuito impreso controlador. Si durante el diseño se eligió una placa cuadrangular
                                         de cierta medida, pero luego se observó la necesidad de agregarle 1 cm a la derecha
                                         y 2 cm en la parte inferior, ¿cuál es la expresión algebraica que representa el área
                                         de la placa modificada?

                        Mano de un robot  Realizamos un esquema de la modificación que se le hizo a la placa.


                                                        x     1
                                                                              El gráfico nos permite ver un
                     Necesidades                   x                          rectángulo de lados x + 1 y x + 2,
                      educativas                                              cuya área es:

                       Otro dispositivo            2                          A = (x + 1) (x + 2)
                   electrónico en el que
                estudiantes ecuatorianos
                     han puesto interés
                          de invención
                   es la órtesis de mano.  El área de esta placa también se puede obtener si la dividimos en cuatro secciones
               Mediante este dispositivo,   como se muestra a continuación:
                    las personas que por
                 alguna razón perdieron                                       Si calculamos el área de cada sección
                una extremidad superior                                       y las sumamos, tenemos
                  tienen la esperanza de                x     1               el área de la placa.
                sustituirla para mejorar su
                        calidad de vida.           x                          A = x² + x + 2x + 2
                                                                              Reduciendo términos semejantes,
                                                   2                          queda:

                                                                              A = x² + 3x + 2

                                         Dado que se trata de la misma área, deducimos que:

                                         (x + 1) (x + 2) = x 2 + 3x + 2
                                         Al analizar lo obtenido en el segundo miembro de la igualdad, podemos decir que el
                                         primer término es el término común de los dos binomios elevado al cuadrado; el
                  ¿Por qué la ciencia debe
                  centrarse en el bienestar   segundo término tiene el coeficiente que resulta de la suma algebraica de los dos
                             humano?     términos no comunes de los binomios; y el tercer término resulta del producto de
                                         los dos términos no comunes.


               78    Matemática
                     9.º EGB





                                                                                                                    22/11/24   14:45
         Matematica 9 EGB Cultiva.indb   78                                                                         22/11/24   14:45
         Matematica 9 EGB Cultiva.indb   78]]></page><page Index="21"><![CDATA[DUA. Representación

                   El producto notable de dos binomios con un término común se resuelve así:
                                          (x+a) (x + b) = x2 + (a + b)x + ab

                  Ejemplos:                                                                             Matemática

                  Obtén los productos notables.                                                  Representación geométrica
                                                     2        2                                  del cubo del binomio
                  a) (2 x + 3)(2 x  − 4)       b)      m 3n     x n                              (a + b)3
                                                     5        5
                  Solución

                                                                x
                                      x
                                                      −= x
                  a)  (2 x +3)(2 x  − 4) (2 ) 2  +(34) x +(3)(4)4  2 −−12                         b 3  ab 2
                                   =
                                            −
                                             2
                                                                                                        2
                  b)   2 m 3n  2 m n =   2 m +( 3n n)  2 m +( 3n)( n )                            ab 2  a b
                      5        5         5             5
                                        4      8
                                      =   m 2    mn+3n  2
                                        25     5
                                                                                                  ab 2  a b
                                                                                                        2
                  Binomio al cubo (a +b)³
                                                                                                   2
                                                                                                  a b   a 3
                  Para obtener el resultado de un binomio al cubo, seguiremos estos pasos:
                                                                    2
                  1.  Descomponemos la potencia en dos factores: ( +ab ) ab(  + )
                                                                                                 (a + b)3  = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
                                                            2
                  2.  Desarrollamos el binomio al cuadrado: (a 2 + abb 2 ) ab(  + )
                                                                +
                  3.  Multiplicamos aplicando la propiedad distributiva:
                                                                                                    Necesidades
                           3  + a  2  + a b 2  2  + a b 2  2  + ab  ab 2  + b 3                     educativas
                  4.  Reducimos términos semejantes: a 3  +  3  2  + a b 3 ab 2 +b 3             El hecho de que haya
                                                                                                 una discapacidad auditiva
                                                                                                 no significa que el tono
                   Un binomio al cubo es igual al cubo del primer término más el triple producto   de voz con el que se
                   del cuadrado del primer término con el segundo término, más el triple del     habla debe ser exagerado
                   primer término con el cuadrado del segundo término y más el cubo del          o excesivo. Basta con que
                   segundo término.                                                              haya claridad en el
                                                                                                 momento de comunicarse.
                          (a + b)3  = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
                   Si el binomio tiene signo negativo, los signos van alternados:

                          (a – b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3

                  Ejemplo:

                                1   3
                  Resuelve  5x − y
                                5
                  Solución
                                      1   3     3       2 1           1  2   1   3
                                                    (
                                            (
                                                                (
                                  5x − y   = 5x)   3 5x)   y +3 5x)    y  +    y
                                      5                   5           5      5                                      ©Freepik
                                      1   3               3      1
                                                              2
                                                      2
                                  5x − y   =125x 3  15x y + xy +    y 3
                                      5                   5     125
                                                                                                      Matemática   79
                                                                                                          9.º EGB





                                                                                                                    22/11/24   14:45
         Matematica 9 EGB Cultiva.indb   79
         Matematica 9 EGB Cultiva.indb   79                                                                         22/11/24   14:45]]></page><page Index="22"><![CDATA[DUA
                        ó                                                                   Acción y expresión






               1. Expresa y calcula el área de los rectángulos.
                                                                      Saberes previos
                   a)
                                  2x + 1                            De dos forma diferentes ¿cómo desarrollarías un
                                                                    binomio al cubo?
                        2x + 4
                   b)                  1 x  −2                        c)   ( n 2 +4 )( n 2 −12 ) =  n −48
                                    4
                          1 x + 6                                     d)  (     +2 )(    −8 ) = x9  2 −18 x −16
                          4                                                1        1        1

                   c)                                                 e)   2 a 2  1  2  a 2  3 = a 4   +3
                                                                                             4
                                                                                        2
                   y + 2                                              f)  (a + 4)(a + 3) = a    + 12
                          y –  8                                      g)  (m – 11)(m + 3) = m 2

               2. Desarrolla los productos.                           h)  (m – 8)(m – 3) = m 2

                   a)  ( +z 3 )( +z 8 ) =  _______________________    i)  (a –           )(a +           ) = a2 – a – 6

                   b)  ( −u 4 )( +u 7 )=  ______________________   4. Obtén los productos.

                   c)  ( −x 10 )( −x 2 ) =  ______________________         3    3   3    1
                                                                      a)     a       a 2     ___________________
                   d)  ( x3  + 2 )( x3  + 6 ) =  _____________________     2    2   2    6

                   e)  ( a4  −3 )( a4  +10 )=  ____________________   b)    1  x 2  1  1  x 2  2  __________________
                                                                            4    2   4    5
                   f)  ( x 5 + 4 )( x 5 − 6 ) =  _____________________
                                                                                                  )
                                                                      c)   (0,6 v 4 +0,1 w )(0,6 v  4  −0,2 w  ____________
                   g)  ( x3  3 −2 )( x3  3 −1 ) =  ____________________
                                                                                1
                                                                                     1
                           5
                                    3
                   h)   ( a4  + b )( a4  − b ) =   ___________________  d)   1 c + d  3 c  2 d  _________________
                                                                                2
                                                                           3
                                                                                         9
                      ( 2 xy  )( 2 x + y ) =                                             
                                     3
                           −
                   i)                      _________________          e)   ( 0,7 ab  −0,1 d )( 0,7 a b  −  ) d  ____________
                                                                              22
                                                                                            22
                             8
                      ( m2  2  − a )( m2  2 + a ) =
                                      4
                   j)                       ________________          f)  (x – 6)(2x – 1) = _______________________
                                      4
                   k)  ( j3  3 + c 2 )( c6  2 − j 3 ) =  ________________
                            6
                                                                      g)  (3x + 1)(2x – 3) = ______________________
               3. Escribe el término o los términos faltantes para
                   que se cumpla la igualdad.                         h)  (3m – 2)(3m + 4) = _____________________
                   a)  ( +x 4 )(x  ) = x 2 − x 24                     i)  (4a – 3)(6a – 5) = ______________________
                                         2
                                            −
                                           1
                   b)  ( +m 3 )(m   ) =m 2 + m 21                     j)  (2b + 3)(b – 3) = _______________________
                                            0
                                               +
               80    Matemática
                     9.º EGB





                                                                                                                    22/11/24   14:45
         Matematica 9 EGB Cultiva.indb   80                                                                         22/11/24   14:45
         Matematica 9 EGB Cultiva.indb   80]]></page><page Index="23"><![CDATA[5.  Resuelve los productos.                        9.  Expresa y calcula el volumen de los cubos.
                     a)   ( x n +2 )( x n  −3 ) =  _____________________  a)

                         (
                     b)  a m +1 −5 )(a m +1 − 4 ) =   __________________
                     c)   ( x7  a +2  + y )( x7  a +2  +  ) y 5   _________________
                                                                                x + 2
                          1     m 1 1
                     d)     x y      x 2y m 1  =  _______________        b)
                          5         5
                     e)  (2x + 3)(3x – 7) = ______________________


                     f)  (b  – 5)(ba  + 3) = ______________________             x – 3
                           2
                                  2
                     g)  (m + 9n)(6m – 5n) =  ___________________    10. Desarrolla los binomios.

                     h)  (2a  + 5b)(4a  – 7b) = ___________________      a)  ( y4  +3 ) =
                                    2
                            2
                                                                                   3
                     i)  (2c – 5d)(5c + d) = _____________________
                                                                                     3
                                                                                 5
                                                                         b)  ( x2  − y ) =
                     j)  (2x  – 5)(5x  – 2) = _____________________
                           3
                                  3
                  6.  Calcula el área total del prisma.                  c)   1 m 2 1 n 3  3  =
                                                                              4     2

                                       x – 1                             d)  a x+1 1  x  3  =
                                                                                 + b
                                                                                   2
                                     x – 1
                         x + 8                                       11. Relaciona cada producto notable con la
                                                                         expresión algebraica correspondiente.
                  7.  Completa la tabla.
                                                                          Producto notable     Expresión algebraica
                         a      b      a3    3a2b   3ab2    b3                     2
                                                                                                          6
                                                                                                       y
                                                                         1.  ( x5  −  ) y 3   a)  64 x 2  +− y 2
                         x      3                                        2.  ( x8  + y )( x8  −  ) y 2  b)  25 x 2  − 49 y 2
                                                                                 3
                        2x      y                                        3.  ( xy2  −  ) 3    c)  25 x 2  − 30 xy  + y 2
                                                                                                            9
                        3 s 2  5 t                                       4.  ( x5  − y )( x5  +  ) y 7  d)  x8  3  −12 x y  + xy 2  − y 3
                                                                                                       2
                                                                                                           6
                                                                                 7
                        5      2
                        x n     y n                                      A)  1b, 2d, 3a, 4c      C)  1c, 2a, 3d, 4b
                                                                         B)  1b, 2a, 3d, 4a      D)   1c, 2a, 3b, 4b
                    Actividad cooperativa
                    8.  Trabajen en parejas y resuelvan.             Indaguemos

                       Calculen el valor de la arista de los cubos que   12. Investiga cómo se denomina el proceso contrario
                       cumplen las siguientes condiciones:               a los productos notables.

                                   3
                              3
                       V  = a 3  + a 2 + a +1;  si a  = 1                Toma  como ejemplo uno de los estudiados
                                                                         y muéstrale a tu clase cómo se desarrolla dicho
                              6
                         =
                       Vx  3  − x 2 +12 x +8;  si x  =5                  proceso inverso.
                                                                                                      Matemática   81
                                                                                                          9.º EGB





                                                                                                                    22/11/24   14:45
         Matematica 9 EGB Cultiva.indb   81                                                                         22/11/24   14:45
         Matematica 9 EGB Cultiva.indb   81]]></page><page Index="24"><![CDATA[Triángulo de Pascal.


                                         Teorema del binomio



                          esen
                       epr
               DUA. Representación
                              tación
                    . R
                                         El teorema del binomio se refiere a la suma o diferencia de dos cantidades elevadas
                                         a una potencia entera. Es de mucha utilidad para calcular probabilidades, resolver
                                         problemas de combinatoria, desarrollar potencias de binomios y calcular coeficientes
                                         binomiales que se verán en temas posteriores.

                                         Triángulo de Pascal

            ©Shutterstock                ¿Qué estructura tiene el triángulo denominado triángulo de Pascal que se observa
                                         en la imagen?

                                         Se trata de un triángulo simétrico de números enteros. Está conformado por filas
                                         que tienen el  número 1 al inicio y al final de cada fila. Empieza con un 1 en la primera
                                         fila, y en las filas siguientes muestra números de forma que cada uno de ellos son la
                                         suma de los dos números que tiene encima.

                                                                             1
                 Interdisciplinariedad                                   1                1

                 Matemática e historia                                1                2              1
                    Blaise Pascal, con su                         1                3                3                1
                análisis del triángulo que
                       lleva su apellido,                      1                4              6              4                1
                        contribuyó a la                   1                5                10                 10               5                1
                conformación de teorías
                    matemáticas, como                  1               6              15              20              15              6               1
                  también lo hicieron los
                 trabajos del ecuatoriano          1                7                21                 35                 35                21                7                1
                     de origen alemán,         1              8              28              56              70              56              28              8              1
                         Peter Thullen.

                                         Ejemplo:

                                         Obtén las filas 9 y 10 del triángulo de Pascal.
                         Matemática      Solución

                 En el triángulo de Pascal   Para obtener la fila 9, sumamos los números de la fila 8.
                    se observan algunas
                    particularidades. Por          1          8          28          56          70          56          28          8          1
                   ejemplo, al sumar los
                   números de la fila, se
                  obtienen las potencias        1         9         36         84         126         126         84         36         9         1
                                de 2.

                        1        1
                       1  1      2       Para formar la fila 10, sumamos los obtenidos de la fila 9.
                      1 2  1     4
                     1 3 3  1    8           1          9          36          84          126          126          84          36          9          1
                    1 4  6  4  1  16
                   1 5 10  10  5  1  32
                  1 6 15  20 15  6  1  64
                  1 7 21 35 35 21 7  1  128
                                           1        10        45        120        210        252        210        120        45        10        1




               82    Matemática
                     9.º EGB





                                                                                                                    22/11/24   14:45
         Matematica 9 EGB Cultiva.indb   82                                                                         22/11/24   14:45
         Matematica 9 EGB Cultiva.indb   82]]></page><page Index="25"><![CDATA[DUA. Representación

                  Teorema del binomio


                   El teorema del binomio o de Newton es una fórmula con la cual se pueden
                   escribir directamente los términos del desarrollo de una potencia entera             Matemática
                   y positiva de un binomio (a + b) .
                                               n
                                                                                                 En los coeficientes de los
                  Para  determinar  esta  fórmula,  encontraremos  por  multiplicación  directa  los   términos del desarrollo de
                  desarrollos de los binomios hasta la quinta potencia.                          los binomios, la simetría
                                                                                                 que se obtiene es similar
                                       0
                                  ab
                                 ( +  ) =1                                                       a los números dispuestos
                                                                                                 en el triángulo de Pascal.
                                       1
                                         ab
                                  ab
                                 ( +  ) = +                                                      Si el binomio tiene signo
                                       2
                                             2
                                  ab
                                 ( +  ) = a 2  + abb 2                                           negativo, en el desarrollo
                                                 +
                                                                                                 se colocan los signos
                                       3
                                             3
                                                2
                                  ab
                                                  + ab
                                 ( +  ) = a 3 + a b 3  2  +b                                     alternadamente.
                                       4
                                              4
                                                           4
                                                  + a b
                                  ab
                                                                                                        1
                                                3
                                 ( +  ) = a 4  + a b 6  22 + ab 3 + b 4                                1 1        ( +xy ) ) 0 1
                                                                                                                  ( +xy
                                                                                                     1
                                                                                                        2 1
                                       5
                                             5
                                                              23
                                                                   5
                                                4
                                                       32
                                  ab
                                 ( +  ) = a 5 + a b +10 a b  +10 a b  + ab 4  + b 5                  1 3 3  1     ( +xy ) ) 2 3
                                                                                                                  ( +xy
                                                                                                   1  4 6  4  1   ( +xy ) 4
                  El análisis del desarrollo de estos binomios nos permite encontrar la fórmula que   1  5 10 10  5 1  ( +xy ) ) 5 6
                                                                                                                  ( +xy
                  aplicaremos:                                                                   1 6 15 20  15  6  1
                  1.  Si el exponente del binomio es n, hay n+1 términos en el desarrollo.
                  2.  Para cada valor de n, el desarrollo de (a + b)  empieza con a   y termina con b . En
                                                                         n
                                                           n
                                                                                        n
                     cada término los exponentes de a y b suman n.
                  3.  Las potencias de a disminuyen de 1 en 1 al pasar de cada término al siguiente. El
                     término b aparece por primera vez en el segundo término con exponente 1 que
                     aumenta de 1 en 1. El exponente de b siempre es una unidad menor que el nú-
                     mero de orden del término.                                                        Digital
                  4.  El primer coeficiente es la unidad. El de cualquier otro término se obtiene multi-  Amplía tu conocimiento
                     plicando en el término anterior su coeficiente por el exponente de a y dividiendo   sobre el triángulo de
                     ese producto entre el número de términos anteriores al que se trata         Pascal y el binomio de
                     de formar.                                                                  Newton. Ingresa en el
                                                                                                 siguiente enlace web:
                  Ejemplo:                                                                       lynk.ec/9mt08
                  Desarrolla el binomio: (x + 2y)7.
                  Solución
                  El desarrollo tendrá 8 términos, se iniciará con x 7 y terminará con 128y 7.
                  Para obtener los coeficientes, tomamos en cuenta el análisis 4.
                  (x + 2y)7 =
                                                                 2
                                  5
                                 x
                                                                    y
                   x 7  +  6  y  + x 7(2) 21 (2 ) 2  +  x 4  y  3  + 35(2)  x 3  y  4  + 35 (2 )  21(2) 5  + x  7(2) 6 + x y  (2 y) 7
                                     y
                                         52
                                                            3
                                                   4
                                                                     2
                  (x + 2y)7 = x 7  +  x 6  +14  x y  + y 84  x y 3 + 280  x y 4  + 560  x y 5 + 672  xy 6  + 448  128 y 7
                                                                                                      Matemática   83
                                                                                                          9.º EGB
                                                                                                                    22/11/24   14:45
         Matematica 9 EGB Cultiva.indb   83
         Matematica 9 EGB Cultiva.indb   83                                                                         22/11/24   14:45]]></page><page Index="26"><![CDATA[DUA
                        ó                                                                   Acción y expresión






               1. Lee la información. Luego, realiza las actividades
                   indicadas.                                         Saberes previos
                   a)  Al  analizar  el triángulo de  Pascal  en forma   ¿Quién fue Blaise Pascal?
                      diagonal,  se  observa  la  disposición  de  los
                      siguientes tipos de números:
                                                                   2. Encuentra  los  números  que  corresponden  a  la
                                       Unos                           fila 10, la fila 11 y la fila 12 del triángulo de Pascal.



                                     1   Números naturales
                                    1  1  Números triangulares        Fila 10 _________________________________
                                  1 2  1   Números tetraédricos       Fila 11 _________________________________
                                 1 3 3  1
                                1 4  6  4  1                          Fila 12 _________________________________
                               1 5 10  10  5  1
                              1 6 15  20 15  6  1                  3. Determina el número de términos que
                             1 7 21 35 35 21 7  1                     corresponde al desarrollo del binomio.
                            1 8 28 56  70 56 58 8  1
                                                                               5
                                                                      a)  (  xb)    ____________________________
                                                                            −
                      Los números triangulares son aquellos que
                      permiten obtener una estructura triangular.     b)  mn(  − )    ____________________________
                                                                                8
                                                                               2 2
                                                                      c)  ( a 5  − b )    ___________________________
                                                                                 11
                        1      3         6                 10         d)  (2 m + 6)    __________________________
                                                                               n
                      Los números tetraédricos son aquellos que       e)  ( z  −8)    ____________________________
                      permiten obtener una estructura piramidal                20
                      de base triangular.                             f)    −r(  s 2 )    ____________________________

                                                                   4. Determina lo solicitado para cada binomio.

                                                                      a)  El primero y último término del desarrollo de:
                                                                          ( xa) 9
                                                                            −
                          1    4     10          20                              _____________________________
                                                                      b)  El primero y último término del desarrollo de:
                   b) Escribe  los  números  triangulares  que              3   5 6
                                                                              2

                      corresponden a cada figura.                         a (  − b )   ___________________________
                                                                      c)  El segundo término del desarrollo de:
                                                                          (2 y − 3) 7  ____________________________
                                                                      d)  El quinto término del desarrollo de:

                   c) Escribe el número tetraédrico que corres-           (2 + a4) 11  ____________________________

                      ponde a la siguiente figura.                    e)  El cuarto término en el desarrollo de:
                                                                           3 (  xy ) 4
                                                                                2
                                                                             −
                                                                                   ___________________________
                                                                      f)  El último término en el desarrollo:
                                                                                 50
                                                                            x 2 (  3  − 1)    __________________________




               84    Matemática
                     9.º EGB





                                                                                                                    22/11/24   14:46
         Matematica 9 EGB Cultiva.indb   84                                                                         22/11/24   14:46
         Matematica 9 EGB Cultiva.indb   84]]></page><page Index="27"><![CDATA[g)  El quinto término en el desarrollo de:      6.  Utiliza el teorema del binomio para desarrollar
                                                                         los siguientes binomios:
                           a    5
                            − 6   ____________________________                     5
                           3                                             a)  ( − a2  ) ____________________________________
                                                                             ____________________________________________
                      h)  El término del medio en el desarrollo de:            3   8
                                                                             (
                          m 4 )    __________________________
                         ( +   n 2  6                                    b)  b  +1) ____________________________________
                                                                             ____________________________________________
                                                                                   7
                                                                         c)  ( z 2  − 3) ____________________________________
                  5.  Problema-decisión. Analiza, decide y selecciona        ____________________________________________
                      la respuesta correcta.
                                                                                  5
                                                                             (
                                                                                    3 6
                                                                         d)  m 4  + n ) ________________________________
                      a)  El coeficiente del quinto término en el            ____________________________________________
                         desarrollo de (4x − y )  es:                    e)  (5x − 3y )    _________________________________
                                           2 6
                                                                                    2 4
                         A)  240                                             ____________________________________________
                         B)  1280                                        f)  (x  + 2y )     _________________________________
                                                                                   2 9
                                                                              2
                                                                             ____________________________________________
                         C)  24
                                                                         g)  (2m2 −n4)5   _________________________________
                         D)  −240
                                                                             ____________________________________________
                      b)  El término  de la mitad en el desarrollo de   7.  Desarrolla  los binomios utilizando el triángulo
                               3 8
                         (6a − b )  es:                                  de Pascal.
                         A)  12 096a b                                             4
                                   3 15
                                                                         a) ( xy
                                                                               + ) ____________________________________

                         B)  90 720a b                                       ____________________________________________
                                   4 12
                                                                                   5
                         C)   −12 096a b                                 b) ( mn) ____________________________________
                                                                                −
                                     3 15

                                                                             ____________________________________________
                         D)  −90 720a b
                                     12 12
                                                                         c) (3 + a) ____________________________________
                                                                                  5

                                                                             ____________________________________________
                      c)  El término que no contiene a x en el desarrollo
                                                                                   9
                         de (3x  − x )  es:                              d) ( a 2 −b) ____________________________________

                              2
                                  −1 6
                         A)  El cuarto término                               ____________________________________________
                         B)  El último término                       Actividad cooperativa
                         C)  El quinto término                       8.  Trabajen en parejas y resuelvan.
                         D)  El sexto término                            Formulen un binomio con 4 ≤ n ≤ 8. Propongan
                                                                         a otra pareja encontrar dos de los términos de su
                                                          x 3   5        desarrollo.
                      d)   El cuarto término en el desarrollo de   − 3
                         es:                               3         Indaguemos
                         A)  −30x 6                                  9.   Investiga sobre la particularidad del triángulo
                                                                         de Pascal con el número 11.
                         B)  −7290x 6
                                                                         Utiliza el siguiente enlace web: lynk.ec/9mt09
                         C)  7290x 6
                                                                     10. Explica  a la clase el resultado de tu
                         D)  30x 6                                       investigación.




                                                                                                      Matemática   85
                                                                                                          9.º EGB





                                                                                                                    22/11/24   14:46
         Matematica 9 EGB Cultiva.indb   85
         Matematica 9 EGB Cultiva.indb   85                                                                         22/11/24   14:46]]></page><page Index="28"><![CDATA[División de monomios


                                         y polinomios



               DUA. Representación
                                         La división de monomios y polinomios es una operación algebraica esencial con
                                         numerosas aplicaciones en matemáticas y ciencias. Ayuda en la resolución de
                                         ecuaciones, factorización de polinomios, simplificación de fracciones algebraicas,
                             2X
                                         entre otras.
                                         La división de polinomios tiene las mismas partes que la división aritmética. Si hay
                                         dos polinomios P(x) (dividendo) y Q(x) (divisor) de modo que el grado de P(x) sea
                                         mayor que el grado de Q(x) y el grado de Q(x) sea mayor o igual a cero, siempre
                                         hallaremos dos polinomios: C(x) (cociente) y R(x) (resto). Veamos cómo realizamos
                   h
               ©Shutterstock             la división.
                                         ¿Cuál  es  el  valor  de  la altura  del  panel  solar  si  el  área  está representada  por
                                         la expresión algebraica 8x 2?

                                         Para determinar el valor del lado desconocido, realizamos una división. Para ello,
                             Panel solar  contemplemos el siguiente proceso:
                                                                                          2
                                                                A = b x h  entonces h = x8  2  ÷ x  =
                        Desarrollo       Dividimos los coeficientes y la parte literal aplicando la propiedad de la potenciación
                        sostenible       de división de bases iguales.

                         Un panel solar    x 8  2
                                                             4
                                                 ÷
                   es un dispositivo que   x 2  = (8 2)( x 2  ÷ x)  = x  La altura del panel solar está representada por h = 4x
                       capta la energía
                    de la radiación solar.  División de un polinomio por un monomio
               Los hay de dos tipos: unos
                son conectores térmicos
                 que sirven para calentar   Para dividir un polinomio entre un monomio, aplicamos la propiedad distributiva
                agua y otros son paneles   de manera que obtenemos tantas divisiones de monomios como términos tiene
                 fotovoltaicos que sirven   el polinomio. Luego, resolvemos cada una de ellas.
                   para generar energía
                             eléctrica.  Ejemplo:
                      En el espacio son                                        2
                                                                                               2
                                                                                            2
               utilizados para suministrar   Divide el polinomio por el monomio: x3  4  −  5  2  − x  x por − x .
                   energía eléctrica a los
                     satélites artificiales.  Solución
                                         Expresamos la división.

                                             4 2
                                                         (
                                                             2
                                           3x    x 2  x ÷ 2x ) =
                                                5
              ©Shutterstock              Aplicamos la propiedad distributiva.



                                             4 2  2          2      4      2     2  2     2            2
                                                         (
                                           3x    x   x ÷ 2x ) = 3x ÷(    2x )     x ÷(  2x )    x ÷(  2x )
                                                5                                5
                 Paneles solares que captan
                       la radiación del Sol  4 2                  3     1 1
                                                         (
                                                             2
                                           3x    x 2  x ÷ 2x ) = − x 2 + + x −1
                                                5                 2     5 2

               86    Matemática
                     9.º EGB





                                                                                                                    22/11/24   14:46
         Matematica 9 EGB Cultiva.indb   86                                                                         22/11/24   14:46
         Matematica 9 EGB Cultiva.indb   86]]></page><page Index="29"><![CDATA[DUA. Representación

                  División entre polinomios                                                             Matemática



                   Para dividir un polinomio por otro se ordenan en forma descendente, luego se   Si un polinomio es
                                                                                                 incompleto, se completan
                   colocan en una galera. Una vez colocados así, dividimos el primer término del   los términos con ceros.
                   polinomio para el primer término del polinomio divisor, al cociente lo multiplica-
                   mos por los términos del polinomio divisor, cambiamos de signo a estos términos   0,1 x − 0,5 x +  x 0 + 4  x 3
                                                                                                      2
                                                                                                   3
                                                                                                             +
                                                                                                    3
                                                                                                              2
                                                                                                                 x 2,4
                   y sumamos algebraicamente el polinomio obtenido. Repetimos el proceso hasta   − 0,1 x − 0,3 2 x 2  x 0 + 4  0,1 x − 0,8 +
                                                                                                    0,8
                                                                                                   −
                                                                                                     x +
                   que el polinomio residuo obtenido sea de menor grado que el polinomio divisor.     0,8 x + 2,4 x
                                                                                                     2
                                                                                                      2,  x 4 + 4
                                                                                                      − 2,  x 4 − 7,2
                                                                                                         − 3,2
                  Ejemplo:
                                          3
                  Divide  x4  4  − x x 2 ++ x  entre  −+ x1  .
                              5
                                      2
                                +
                                                                                                      Ética e integridad
                  Solución
                  Ordenamos los polinomios al tiempo que los colocamos en una galera:            El comportamiento y las
                                                                                                 formas de hablar suelen
                                5
                   4 x 4  + x 3 + x 2  − x 2               x −1                                  variar de persona a
                                  +
                                                                                                 persona. Es importante
                  Dividimos 4x 4 por x y colocamos el resultado debajo del polinomio divisor:    respetar el estilo que cada
                                                                                                 persona tenga a la hora
                                5
                   4 x 4  + x 3 + x 2  − x 2             x −1                                    de hablar y de
                                  +
                                                                                                 comportarse.
                                                 4 x 3
                  Multiplicamos  4x  3  por  x  – 1  y  al  polinomio  resultante lo colocamos  con signo
                  contrario debajo del polinomio dividendo:
                                5
                                  5
                                   x
                            +
                     44 xx 4 4 + xx 3 3 + xx 2 2 − x 22           x −1                                 Digital
                                    +
                                   +

                                −
                        +
                  −  x 4  4  +  x 4  3                4 x 3                                      Imprime la página 5
                                                                                                 del siguiente enlace
                  Sumamos algebraicamente y repetimos el proceso hasta obtener cero o un polinomio   y practica la división
                  de menor grado que el polinomio divisor:                                       de polinomios.
                                                                                                 lynk.ec/9mt10
                      4 4 4
                              2 2 2
                          3 3 3
                                    x
                           + x+ xx
                     4
                                   5
                       x
                                  5
                                5
                                   x
                      4
                                   +
                                −
                                 −
                                      +
                          +

                     4 x x + x+ xx  +    − x 2+ 22          x  −1
                  −  x 4  4  +  x 4  3                x4  3  +  x 5  2  +  x 6 + 1
                               22
                                 x5 x5  33 +  x+ x − x5−  x 5 + 2+ 2                                   Digital
                           3
                              5−  x +  x 5  2                                                    Amplía tu conocimiento y
                                                                                                 practica operaciones con
                                  x 6  2  −  x 5 + 2                                             polinomios en el
                               −  x 6  2  +  x 6                                                 siguiente enlace:
                                                                                                 lynk.ec/9mt11
                                   +
                                        x 2                                                ©Shutterstock
                                       x 1−+
                                         3
                                                                                                      Matemática   87
                                                                                                          9.º EGB
                                                                                                                    22/11/24   14:46
         Matematica 9 EGB Cultiva.indb   87                                                                         22/11/24   14:46
         Matematica 9 EGB Cultiva.indb   87]]></page><page Index="30"><![CDATA[DUA
                Evaluación formativa                                                        Acción y expresión






               1.  Obtén los siguientes cocientes.                 3.  Efectúa las siguientes divisiones.

                   a)  3 xy z  ÷ xyz  =  ______________________           6 xyz 2
                           2 4
                                                                            4
                         2
                                                                      a)    2 xyz  =   ___________________________
                               2
                   b)  − yz8  22  ÷ yz  =   ______________________        12 mnp
                                                                              2
                                                                      b)   –3 mn p 3  =    _________________________
                                                                               2
                          25
                                 23
                               8
                   c)  16 ab c  ÷ a b  =  _____________________
                                                                          –16 abc
                                                                              3
                                                                      c)       4  =     _________________________
                         8
                   d)  7 wy 3 ÷ yz  =  _______________________             4 abc
                              2
                                                                          24 rs t
                                                                             62 2
                                                                      d)     2   =    __________________________
                                       3
                             5 4
                           6
                                     6
                   e)  0,4 xy z  ÷ 0,2 x yz =  ________________            9 rs
                                                                              4
                                                                          –35 ab –2
                                                                      e)          =    _________________________
                       3       1                                            –7 ab
                   f)   ab   ÷ ab  −6  =   ____________________
                                 3
                         −42
                       5       3                                          0,5 xy –1
                                                                              2
                                                                      f)       2  =    __________________________
                      11  5 3    9  3 2                                     3 xy
                   g)   m n ÷     m n    ___________________
                       2         2                                        –1,2 gh
                                                                               –3 3
                                                                      g)      –1 –2  =     _________________________
                                    −6
                          4
                   h)  0,3 xy −2  ÷0,5 yz   ____________________          0,3 gh
                                                                   4.  Divide los polinomios para los monomios.
                        144       2
                   i)   −   ÷12 am n =  _______________________________________
                        mn                                            a)  ( x16  3 − x 2  + x ) ÷ x2  =  ________________
                                                                                8
                                                                                     4
                                                                               3
                                                                                    ) ÷ x
               2.  Divide los monomios:                               b)  ( x2  2  − x +14  =  ____________________
                                                                                       3
                                                                                           15
                          2
                                  2
                          m 3
                                   m 2
                   a)  72 ab  n  ÷ ab  n  =   __________________      c)  ( − xy50  4  2  −25 xy + x 2 ) ÷  xy5
                                8
                                                                           ___________________________________
                                                                                          1
                   b)  222 xy a  ÷37 xy 2 a  =  __________________    d)  (36 ab  − ab 4  + ab  + 27 ab  ) ÷ ab9  32
                                                                              53
                                                                                  9
                                                                                         8
                                                                                     4
                                                                                                    26
                                    a
                           2
                                                                                            35
                            a
                                                                           ___________________________________
                           x 3
                                  x
                   c)  27 ab 2 x  ÷ ab x  =  ____________________
                                9
                                                                                                     x
                                                                      e)  (−49 x 6  +21 x 4  − 63 x 2  + x ) ÷14
                                                                                              7
                         3
                         m
                                      2
                   d)  8 xy m  ÷56 x 4 m y − m  =  _________________       ___________________________________
                                                                                                 −4
                                                                      f)   (0,14 m −2  −0,21 m −3 −0,63 m )  ( ÷−0,7 m −2 )
                   e)  −18 x m +1 z n ÷ x m −1 z n +1 =   ________________
                                 6
                                                                           ___________________________________
                            m
                   f)  0,25 a −+2 b ÷0,5a m −2  =  _________________       8      2      5        7
                                                                      g)    a b + a b      a b  ÷   a b
                                                                                     3 3
                                                                                                     2 2
                                                                                            2 4
                                                                              5 2
                                                                           3      9      6        18
                       3          1
                   g)   x 2 m −2 y n −1 ÷  xy  =  __________________       ___________________________________
                                     3 2
                       8          4
                                                                                           7
                                                                                                    2
                                                                      h)    17  xy 2  5  x y + x y  4  ÷ x y
                                                                                      3 3
                                                                                                      2
                                                                                              4
                            8
                                 4
                   h)  16 x 3 − x 2 + x  ÷2 =  _________________             3      4      5        3
                                       x
                                                                           ___________________________________
               88    Matemática
                     9.º EGB
                                                                                                                    22/11/24   14:46
         Matematica 9 EGB Cultiva.indb   88                                                                         22/11/24   14:46
         Matematica 9 EGB Cultiva.indb   88]]></page><page Index="31"><![CDATA[5.  Encuentra el cociente.                         7.  Calcula la base de la figura conociendo su área.

                      a)   ( x2  2  + x ) ÷ x2  = ______________________
                               4
                                                                                                   2
                                                                                                        5
                      b)   ( y3  5 + y 3 − y 2 ) ÷y 2  =   _______________  x + 4               A = x 2 + x −12
                               4
                                    2

                      c)   ( zy6  6  +18 zy 3 ) ÷ zy6  4  =  ______________
                                   4
                      d)   81 (  ab + 9 ab ) ÷ 9 ab =   ______________
                                           22
                                    52
                             25
                          1  2  1  3  1  2
                      e)    x    x  ÷ x =   __________________
                          2     4     2
                      f)   ( x 2 m +1 −x m −1 ) ÷x m =  __________________  8.  Problema-decisión.  Aplica  lo aprendido y
                                                                         decide cuáles de las siguientes afirmaciones son
                            3
                                 2
                                      +
                      g)   4 x +  x 6  –2 x 10  =  __________________    verdaderas (V) y cuáles falsas (F).
                                 2                                       a)  El cociente de la división de un polinomio
                            +
                      h)   x m 1  +  x m–1  =  _________________________    de quinto grado para otro polinomio
                             x m                                            de segundo grado es de grado 3.    ________
                      i)  ( 4 x –5–19) ÷  x 2 =  __________________
                             2
                                x
                                                                         b)  La división de x3 + 1 para x2 – x + 1
                      j)  (  x 6  3  –  x 8  2  +  x 6 –9) ÷  x 3 =   ______________  es exacta.     __________________________
                                                                         c)  El residuo de la división de x2 + 2x + 1
                  6.  Realiza las divisiones entre polinomios.              para x + 1 es 2x.      _____________________

                                                                         d)  El residuo de la división de x4 – y4
                                         ) ( x
                                    3
                               6
                                        1
                      a)  ( x4  4  − x 3 + x  −÷  3 − 3 ) =                 para x2 + y2 es 0.     _____________________
                                                                     9.  Resuelve en tu cuaderno y completa
                                                                         la siguiente tabla.
                                                                               División       Cociente    Residuo
                                    5
                      b)  ( y2  3 + y 2 + y 6 ) ( ÷ 2 y +  ) 3
                               9
                                      −
                                                                              2
                                                                            4 x –10 x 4  =
                                                                                    +
                                                                                x 2– 4
                                                                             a 3  2 –13 a 4  =
                                                                                    +
                                                                               a –4
                          5     1      5        1    1
                                   2
                             3
                      c)    a +   a b+ ab  2  ÷  a    b              Actividad cooperativa
                          3    16      2        2   4
                                                                     10. Trabajen en parejas y resuelvan.
                                                                         Calculen  el  área  de  la  base  de  un  prisma
                                                                         cuadrangular cuyo volumen es:
                                                                         8a  – 4a b – 2ab  + b  y cuya altura es 2a + b.
                                                                           3
                                                                                2
                                                                                           3
                                                                                       2
                                       2
                                2
                      d)  ( x 2 a +3 + x 2 a +2  + x 2 a +1 + x 2 a ) ( x  a + x a −1 )  ____________________________________________
                                                  ÷
                                                                     Indaguemos
                                                                     11. Investiga el proceso de división de polinomios
                                                                         por coeficientes separados. Expón ante la clase
                                                                         con un ejemplo.

                                                                                                      Matemática   89
                                                                                                          9.º EGB





                                                                                                                    22/11/24   14:46
         Matematica 9 EGB Cultiva.indb   89
         Matematica 9 EGB Cultiva.indb   89                                                                         22/11/24   14:46]]></page><page Index="32"><![CDATA[DUA
                                                                                             Participación




               Operaciones con polinomios online, con Symbolab

               La Web nos ofrece un sinnúmero de herramientas y recursos en línea que nos permiten resolver problemas en
               diversos campos, como las matemáticas y las ciencias.
               Entre las muchas herramientas de la Web que permiten realizar cálculos y problemas matemáticos está Symbolab.
               Este sitio web permite a los usuarios escribir problemas matemáticos en su plataforma, y luego los soluciona
               paso a paso, proporcionando respuestas detalladas para ayudar a los estudiantes y profesionales a comprender
               y resolver problemas matemáticos.

               Actividad:
               Resuelve el producto de los polinomios y comprueba la respuesta mediante Symbolab
               Ingresa al sitio mediante el enlace https://es.symbolab.com/




                                                                                                                    ©Shutterstock
               Haz clic en el ícono para desplegar el teclado que te permitirá ingresar el polinomio.









               Las letras y los paréntesis los puedes digitar en el teclado de tu computadora.
               Para los exponentes usa los íconos del teclado virtual







               Una vez ingresado el polinomio, da clic en “ir” .

                                                                                   Taller

                                                                                   Realiza los productos.

                                                                                   1. (x – 6) (3x – 4) (–5x + 7)








                                                                                         2
                                                                                                   2
                                                                                   2. (6x  – 4xy + 3y ) (x – y)









               90    Matemática
                     9.º EGB





                                                                                                                    22/11/24   14:46
         Matematica 9 EGB Cultiva.indb   90                                                                         22/11/24   14:46
         Matematica 9 EGB Cultiva.indb   90]]></page><page Index="33"><![CDATA[DUA
                     
í      É              
 
                                                   Participación




                    Deberes de los ecuatorianos y ecuatorianas


                                            Art. 83.- Son deberes y responsabilidades
                     1  Acatar y cumplir la   de los ecuatorianos, además de otros previstos   10 y la igualdad en la
                                                                                    Promover la unidad
                       Constitución, la ley
                       y las decisiones           en la Constitución y la ley:      diversidad y en las
                       legítimas de autoridad                                       relaciones
                       competente.                                                  interculturales.
                     2  Ama killa, ama llulla,                                      Asumir las
                       ama shwa. No ser
                       ocioso, no mentir,                                        11 funciones públicas
                       no robar.                                                    como un servicio
                                                                                    a la colectividad
                     3  Defender la                                                 y rendir cuentas
                                                                                    a la sociedad.
                       integridad territorial
                       del Ecuador y sus
                       recursos naturales.                                          Ejercer la profesión
                                                                                 12u o cio con
                     4  Colaborar                                                   sujeción a la ética.
                       en el mantenimiento
                       de la paz y de la                                            Conservar el
                       seguridad.                                                13 patrimonio cultural
                                                                                    y natural del país,
                     5  Respetar los                                                y cuidar los bienes
                       derechos humanos
                       y luchar por su                                              públicos.
                       cumplimiento.
                                                                                    Respetar las
                                                                                 14 diferencias étnicas,
                       Respetar los
                     6 derechos de la                                               nacionales, sociales,
                       naturaleza, preservar                                        generacionales, de
                       un ambiente sano y                                           género, y la
                       utilizar los recursos                                        orientación sexual.
                       naturales de modo
                       sustentable y                                                Cooperar con el
                       sostenible.                                               15 Estado y la
                                                                                    comunidad en la
                     7  Promover el bien                                            seguridad social,
                       común y anteponer
                                                                                    y pagar tributos.
                       el interés general al
                       interés particular.                                          Asistir, alimentar,
                                                                                 16 educar y cuidar
                       Administrar                                                  a los hijos. Esto es
                     8 honradamente y con                                           corresponsabilidad
                       apego a la ley el                                            de madres y padres                    ©Shutterstock
                       patrimonio público,
                       y denunciar la                                               en igual proporción,
                       corrupción.                                                  y corresponderá
                                                                                    también a los hijos.
                       Practicar la justicia
                     9 y la solidaridad                                             Participar en la vida
                       en el ejercicio de sus                                    17 política, cívica y
                       derechos y en el                                             comunitaria del país,
                       disfrute de bienes                                           de manera honesta.
                       y servicios.
                  Taller


                  1.   Como ciudadano, plantea dos estrategias a nivel personal para cumplir con el segundo deber.
                      ___________________________________________________________________________________________________________
                      ___________________________________________________________________________________________________________
                  2.   ¿Por qué todos los ciudadanos no solo tenemos derechos, sino también obligaciones?

                      ___________________________________________________________________________________________________________
                      ___________________________________________________________________________________________________________

                                                                                                      Matemática   91
                                                                                                          9.º EGB





                                                                                                                    22/11/24   14:46
         Matematica 9 EGB Cultiva.indb   91                                                                         22/11/24   14:46
         Matematica 9 EGB Cultiva.indb   91]]></page><page Index="34"><![CDATA[División sintética. Cocientes


                                         notables



               DUA. Representación


                                         La división sintética es una técnica matemática utilizada para dividir un polinomio
                 Interdisciplinariedad
                                         (dividendo) por un binomio de la forma (x – a) (divisor), donde ‘ a ’ es una constante.
                          Matemática     Esta  técnica  es especialmente  eficiente  cuando  se divide un  polinomio  por un
                         y tecnología    binomio lineal de la forma (x – a). La división sintética se utiliza principalmente para
                 Las microondas no solo   encontrar el cociente de la división y, en particular, para determinar las raíces o ceros
                  son emitidas por el Sol,   del polinomio.
               sino que también pueden   En la fabricación de un microondas, se ha considerado la expresión algebraica
                ser generadas a través de   x 3 + x 2 − x 2 para representar su volumen, y el binomio  −x 2  para representar su
                                                 5
                                                    −
                 dispositivos elaborados
                con elementos llamados   altura. ¿Cuál es la expresión que representa el área de su base?
                 semiconductores, como   Para determinar la expresión algebraica que representa el área de la base del
                    el silicio o arseniuro   microondas, debemos dividir la expresión del volumen para la expresión de la altura.
                    de galio o en tubos
                     llamados de vacío.   Esta división puede ser realizada utilizando  la división sintética, la cual es
                                         recomendable usar en polinomios P(x), ordenados en forma descendente, que van a
                                         ser divididos entre binomios de la forma  ±xa .
               ©Shutterstock             Dividimos ( x³ + x² – 5x – 2 ) ÷ ( x – 2 ) =:





                 Una de las aplicaciones   Escribimos los coeficientes del polinomio dividendo y el opuesto del segundo
                de este tipo de ondas es   término del polinomio divisor.
                el horno de microondas,    1       1         –5            –2                2
               el cual genera ondas en el
                     rango de 2,45 GHz
                         (gigahercios).   Bajamos el primer coeficiente, lo multiplicamos por el número de la derecha.
                                          Registramos ese producto en la segunda columna para ser sumado algebraica-
                                          mente con el número que se encuentra en esa posición. Al resultado obtenido
                                          lo multiplicamos por el número de la derecha y repetimos el proceso para las
                                          siguientes columnas.


                                           1               1              –5            –2            2
                                                             2                 6               2

                                          1                 3                 1               0


                                          Expresamos el cociente separando el último número obtenido. Le damos la for-
                          Socioemocional  ma, considerando que es un grado menor al polinomio dividendo. El número ex-
                                          cluido es el residuo.
                       Cuando trabajes
                        en grupo, toma
                 la iniciativa y manifiesta   Cociente      1          3          1         Residuo   0.
                     tus puntos de vista                         2
                       en la resolución   El polinomio cociente es:  x  +  + x 3  1.
                     de problemas para   Entonces el resultado de dividir los dos polinomios es:
                     llegar a soluciones
                             efectivas.  ( x³ + x² – 5x – 2 ) ÷ ( x – 2 ) = x² + 3x + 1



               92    Matemática
                     9.º EGB





                                                                                                                    22/11/24   14:46
         Matematica 9 EGB Cultiva.indb   92                                                                         22/11/24   14:46
         Matematica 9 EGB Cultiva.indb   92]]></page><page Index="35"><![CDATA[DUA. Representación

                  Cocientes notables


                  Existen ciertas divisiones cuyo cociente puede ser escrito directamente. A este tipo        Matemática
                  de divisiones se les denomina cocientes notables.
                                                                                                 La diferencia de dos
                                                                                                 potencias de exponentes
                   La diferencia de dos cuadrados perfectos dividida entre la suma de las raíces es   iguales pares siempre es
                   igual a la diferencia de sus raíces. Y si la división es para la diferencia de sus raíces,   divisible entre la suma
                   el cociente es igual a la suma de las raíces.                                 de sus bases.
                                                                                                 x −  y 4  3  2  2  3
                                                                                                  4
                                        a 2  − b 2  =−ab   a 2 − b 2  =+                          x +  y  = x  – x y + xy  – y
                                                                   ab
                                         ab                ab                                    La suma de potencias
                                                             −
                                          +
                                                                                                 de exponentes iguales
                                                                                                 impares siempre
                   Ejemplo:                                                                      es divisible, exactamente,
                                             2 6
                                   25 x 4  − 64 y z                                              entre la suma de
                  Calcula el cociente                                                            sus bases.
                                          8
                                      x 5  2  + yz 3
                                                                                                 x 5  + y 5  = x  4  − x yx y  2  − xy  3  + y 4
                                                                                                          3
                                                                                                              2
                                                                                                            +
                                                                                                  xy
                                                                                                   +
                                  2 6
                            4
                                                                                2
                                                                                      3
                  Como 25  x  − 64 y z  es la diferencia de dos cuadrados perfectos y x5  + yz8  es la
                  suma de sus raíces, el cociente es:                                            La diferencia de potencias
                                                                                                 de exponentes iguales
                                                                                                 pares siempre es divisible,
                            2 6
                   25 x 4  − 64 y z  = x5  2 − yz8  3                                            exactamente, entre la
                         8
                     x 5  2 + yz 3                                                               diferencia de sus bases.
                                                                                                 x −  y 4  = x  + x y + xy  + y 3
                                                                                                  4
                                                                                                        3
                                                                                                          2
                                                                                                              2
                                                                                                  xy
                                                                                                   −
                   La diferencia de cubos perfectos dividida entre la diferencia de sus raíces cúbicas
                   es igual al cuadrado de la primera raíz, más el producto de las dos raíces, más el   Una suma de potencias
                   cuadrado de la segunda raíz.                                                  iguales pares nunca
                                                                                                 será divisible
                                             a 3 −b 3  = a 2 + abb 2                             exactamente entre
                                                           +
                                              ab                                                 la diferencia de sus bases
                                               −
                                                                                                 x + y 4  ; no es cociente
                                                                                                  4
                                                                                                   −
                   Si por el contrario es la suma, tenemos:                                       xy
                                                                                                 notable.
                                             a 3 + b 3  = a 2 − abb 2
                                                           +
                                              ab
                                                +
                  Ejemplo:
                                   216 p 3 − q r
                                           8
                                             3 9
                  Calcula el cociente
                                          2
                                     6 p − qr 3
                  Solución
                   6 p − qr2  3   es la diferencia de los cubos perfectos  216 p 3 − q r8  3 9
                                                                                                 ©Shutterstock
                  Por lo tanto:

                                                                                                      Matemática   93
                                                                                                          9.º EGB





                                                                                                                    22/11/24   14:46
         Matematica 9 EGB Cultiva.indb   93                                                                         22/11/24   14:46
         Matematica 9 EGB Cultiva.indb   93]]></page><page Index="36"><![CDATA[DUA
                Evaluación formativa                                                        Acción y expresión






               1.  Ordena en forma descendente los polinomios;     3.  Realiza las siguientes operaciones por división
                   complétalos si es necesario.                       sintética.

                   a)   − x8  + − x 3 + x 4  − x                      a)  ( a3  3 +15 a 2 −34 a +56 ) ( ÷ a 7 )
                                                                                                 +
                                          2
                            6
                               5
                                        6
                        ___________________________________           Cociente:
                   b)   16 y 4  + y 7 − + y 3  − y                    Residuo:
                                           2
                                74
                                        5
                        ___________________________________                 7    1    13       1    1
                                                                               3
                                                                                                           (
                   c)   18 a + a 3 − a 4 −+ a                         b)    2 m + m+  4  m 2  2+ m 5  4  m 4  ÷ m 2)
                                          5
                           7
                                                                                               2
                                4
                                      6
                                                                                 2
                        ___________________________________           Cociente:
                   d)   m −4  + m −1 − m +− m                         Residuo:
                                            −2
                                      46
                            2
                                  3
                        ___________________________________                       2     5    3
                                                                      c)  ( +10,75 x  −0,5 x  + x  ) ( ÷ x 3 )
                                                                                           3
                                                                                                   +
               2.  Completa el proceso de división sintética.         Cociente:
                                                                      Residuo:
                                      4
                                 2
                   a)  ( x6  4  + x 3 − x 2 + x 6 ) ( ÷ x 3 )
                            3
                                                −
                                         −
                                                                           1  3  2  2  1           1
                       +6    +3    –2     +4     –6      3            d)   3  x  9  x +  27  x +1 ÷ x  3
                                  +63
                                                                      Cociente:
                           +21          +187  +555                    Residuo:
                   Cociente:    ______________________________        e)  (12x4 – 4x2 + 10) ÷ (x – 5)
                   Residuo:     ______________________________        Cociente:
                                                                      Residuo:
                           6
                   b) ( y4  − y 2  + y 3  −4 ) ( ÷ y 6 )
                                 3
                                            +

                       +3    –6    +4     –4                          f)  (x5 – 32x2) ÷ (x – 2)
                                                                      Cociente:
                            –18         –888
                                                                      Residuo:
                       +3        +148
                                                                   4.  Problema-decisión. Aplica lo aprendido en este
                   Cociente:    ______________________________
                                                                      tema. Luego,  decide y  selecciona el cociente
                   Residuo:     ______________________________        y el residuo para cada división.
                                                                            3
                                                                                 2
                              4
                                              −
                   c) ( −  n 2  3 + n − 160 −  n 6)                   a)  (2x  – 6x  + 2x – 1) ÷ (x – 2)
                                    n 12) ( ÷

                                                                               2
                                                                                                      2
                        1    –2    + 0  –160    –12      6               A)    2x  – x – 2; –5           C)    2x  – 2x – 2; –5
                                                                                                      2
                                                                               2
                                  +24                                    B)    2x  – 2x + 2; 5    D)    2x  + x – 2; – 5
                             +4   +24    –16                          b)  (4x  – x  – 5) ÷ (x + 3)
                                                                            3
                                                                                2
                                                                                                      2
                                                                               2
                   Cociente:    ______________________________           A)    4x  – 13x + 39; –122  C)    4x  – x – 1; –12
                                                                               2
                                                                                                      2
                   Residuo:     ______________________________           B)    4x  – x – 2; –2    D)    4x  + 1; –2
               94    Matemática
                     9.º EGB
                                                                                                                    22/11/24   14:46
         Matematica 9 EGB Cultiva.indb   94                                                                         22/11/24   14:46
         Matematica 9 EGB Cultiva.indb   94]]></page><page Index="37"><![CDATA[5.  Determina el cociente.                                    1+ x 6
                                                                                                2
                                                                                            4
                                                                         d)              =  x −  x + 1
                                  2 2
                          4 a 2 −25 b c
                      a)             =
                               5
                           2 a − bc       ______________________
                                                                                           6
                                                                         e)             =  x +  x 3  3  + 9
                             2
                         81 xy 4  − 64 z 6                                      3− x 3
                      b)      2    3  =
                           9 xy  + z8      _____________________                            2
                                                                         f)    7 a + b  = 7 a − b
                                                                                 2
                          49 ay 4 −121 z 6
                             2
                      c)      2     3  =                             7.  Desarrolla los cocientes.
                           7 ay  + z11       ____________________             6   6
                               2
                              4
                         36 mn −  100 q 2                                a)   x  − y  =  __________________________________
                                                                               −
                      d)      2         =                                     xy     __________________________________
                                 −
                           6 mn 10  q       ____________________
                                                                              7
                          −0,01 z 2 + 0,25 w 2                           b)   p − 128 s 14  =  ______________________________
                      e)                 =                                     p 2−  s 2
                            0,5 w + 0,1 z     ___________________                        ______________________________
                      f)  27 m 3 − 64 n 3  =                             c)   32 x 5 +243 2 y 10  =  ___________________________
                              − n
                           3 m 4          ______________________                x 2  + y3   ___________________________
                         125 x  6 +343 y 6                           8.  Señala los cocientes que no son notables.
                      g)      2    2  =
                                7
                             x 5  + y      _____________________
                                                                                 2
                                                                             100 x − 9
                                                                         a)
                         216 a 9  +512 b 9                                    10 x 3
                                                                                 +
                      h)      3    3  =
                                 8
                            6 a  + b       _____________________             32 x − 1
                                                                                10
                                                                         b)
                         1331 y 6 −1000 z 3                                    x 2  2  − 1
                      i)       2        =
                            11 y  −10 z       ___________________            8 b − 27
                                                                               3
                                                                         c)    b 2 + 3
                         8 a 3 m  +27 b 3 n
                      j)             =                                         6   2
                            a 2  m  + b 3  n     ______________________  d)   4 x + y
                                                                               x 2  3  + y
                          0,064  x 6 a  − 0,216y 9 a
                      k)        2 a    3 a  =
                            0,4 x  − 0,6 y      ________________     Actividad cooperativa
                  6.  Completa las expresiones para que la igualdad   9.  Trabajen en parejas y resuelvan.
                      sea verdadera.                                     Demuestren que

                                                                             −
                            42
                         9 ab  − 25 c 6                                    ab    = a  + b ; y que
                                         2
                                       3
                      a)             = ab 5   3                            a  − b
                                           + c

                                                                           ab    = a  − b .
                                                                             −
                      b)              = 9 xy + 3 xyz + z 6                 a  + b
                                            2
                                          4
                                                    3
                                                 2
                              2
                            3 xy z 3
                                −
                                                                     Indaguemos
                          1  z 4  −  64  p 2
                                             8
                                       1
                      c)   49    9    = z 2  − p                     10. Investiga por qué la suma de potencias con
                                                                         exponentes pares iguales no es divisible para la
                                       7     3
                                                                         suma de sus raíces.
                                                                                                      Matemática   95
                                                                                                          9.º EGB
                                                                                                                    22/11/24   14:46
         Matematica 9 EGB Cultiva.indb   95
         Matematica 9 EGB Cultiva.indb   95                                                                         22/11/24   14:46]]></page><page Index="38"><![CDATA[ó                                                                        DUA
                   	                                                                           Participación



                 ¿Qué es y para qué sirve un cheque?


                                                                                                                       ©Shutterstock



































                 Los cheques son empleados   En finanzas existen herramientas que permiten realizar transacciones, una de ellas
                 en transacciones financieras.  son los cheques. Es un documento financiero que reemplaza al dinero en efectivo
                                         y sirve como una orden por escrito, emitida por una persona o empresa (el emisor
                                         del cheque) a su banco, para que pague una cantidad de dinero a la persona o enti-
                                         dad que se nombra en el cheque (el beneficiario).

                                         Los cheques se utilizan en diversas transacciones, como pagos de facturas, compras
                                         de bienes y servicios, transferencias de dinero entre cuentas bancarias, etc. Los che-
                                         ques ofrecen una forma segura de realizar transacciones, especialmente en situacio-
                                         nes donde hay cantidades considerables de dinero; además, proporcionan
                                         un registro escrito de la transacción, lo que es útil para un seguimiento de gastos
                                         y para fines contables.
                                         Sin embargo, tanto el emisor como el beneficiario deben tener precauciones al reali-
                 Indago                  zar transacciones con cheques. Por un lado, el emisor debe asegurarse de contar con
                                         el saldo disponible en su cuenta, pues por insuficiencia de fondos hay una multa del
                 ¿En qué ámbitos de un   10 % sobre el valor del cheque. El beneficiario, en cambio, deberá tener cuidado de
                 negocio es útil usar    que el cheque haya sido llenado de forma correcta, ya que si contiene errores puede
                 cheques?, ¿en cuáles no?  no pagársele.

                                         Hoy, el uso de cheques ha disminuido debido principalmente a los métodos
                                         de  pago  electrónicos,  como  transferencias  bancarias,  tarjetas  de  crédito  y  débito
                                         y pagos en línea. Además, los cheques pueden tener requisitos específicos y costos
                                         asociados, como comisiones bancarias o demoras en el procesamiento, lo que
                                         ha llevado a optar por alternativas más eficientes.

               96    Matemática
                     9.º EGB





         Matematica 9 EGB Cultiva.indb   96                                                                         22/11/24   14:46
                                                                                                                    22/11/24   14:46
         Matematica 9 EGB Cultiva.indb   96]]></page><page Index="39"><![CDATA[Taller


                  De acuerdo con la información presentada, responde las preguntas. Selecciona una sola respuesta en cada
                  pregunta.

                  1.  ¿Cuál de las siguientes afirmaciones definen a un cheque?
                      a)   Un documento financiero que reemplaza al dinero en efectivo.
                      b)   Una orden por escrito emitida por una persona o empresa a su banco.
                      c)   Un documento que permite realizar transacciones financieras.
                      d)   Todas las anteriores.

                  2.   ¿Por qué los cheques pueden ser útiles para llevar un seguimiento de los gastos y para fines contables?
                      a)   Porque proporcionan un registro escrito de la transacción.
                      b)   Porque son más seguros que otros métodos de pago.
                      c)   Porque no tienen costos asociados.
                      d)   Porque son más eficientes que otros métodos de pago.

                  3.   ¿Por qué ha disminuido el uso de cheques en la actualidad?
                      a)   Porque los métodos de pago electrónicos son más eficientes.
                      b)   Porque los cheques tienen requisitos específicos y costos asociados.
                      c)   Porque los cheques pueden tener demoras en el procesamiento.
                      d)   Todas las anteriores.

                  4.   ¿En qué circunstancias crees que es conveniente usar un cheque como medio de pago?

                      __________________________________________________________________________________________________________
                      __________________________________________________________________________________________________________
                      __________________________________________________________________________________________________________
                  5.   ¿Qué sucede si una persona emite un cheque sin tener fondos?

                      __________________________________________________________________________________________________________
                      __________________________________________________________________________________________________________
                      __________________________________________________________________________________________________________

                  6.   Observa las partes de un cheque, elabora uno, llénalo, simula pagarlo a un compañero, quien debe verificar
                      si está correctamente girado.



                                                                     2  Cuenta No. 1234
                           Banco XX  1                               3  Cheque No. 1234  1.  Nombre del banco
                                                                                      2.  Número de cuenta corriente

                     4  PÁGUESE A                               U.S. $  5             3.  Número de cheque
                       A LA ORDEN DE
                     6  LA SUMA DE                                                    4.  Nombre del beneficiario
                                                                                      5.  Valor a pagar en números
                                                                         U. S. DÓLARES
                                                                                      6.  Valor a pagar en letras
                     7  CIUDAD Y FECHA                            8                   7.  Ciudad y fecha de emisión
                                                                 FIRMA:               8.  Firma autorizada




                                                                                                      Matemática   97
                                                                                                          9.º EGB





                                                                                                                    22/11/24   14:46
         Matematica 9 EGB Cultiva.indb   97                                                                         22/11/24   14:46
         Matematica 9 EGB Cultiva.indb   97]]></page><page Index="40"><![CDATA[DUA
                   
                             Textos y lecturas                            Participación
                                                 desde la Internet

               Relación de la arquitectura con la matemática




             ©Shutterstock




























                                                                                            Las matemáticas son una
                                                                                            herramienta básica para
                                                                                            la arquitectura.

               “La relación entre la matemática y la arquitectura se re-  vio la conexión entre la música y los números y com-
               monta a los primeros tiempos en los que el hombre   prendió claramente cómo la nota producida por una
               empezó a construir estructuras funcionales. En las anti-  cuerda se relacionaba con su longitud. Estableció las
               guas sociedades bizantinas, egipcias, griegas, islámicas   proporciones de la secuencia de notas en una escala y
               y romanas, los matemáticos eran arquitectos, y los ar-  descubrió que los hermosos sonidos armoniosos de-
               quitectos eran matemáticos. Los matemáticos partici-  pendían de las proporciones de pequeños enteros, lo
               paron en el diseño de grandes estructuras, como    que llevó a que los arquitectos diseñaran edificios
               pirámides, coliseos, ágoras... y canales de riego.  usando estas proporciones. Los números para Pitágo-
               Sin las matemáticas, en cualquier época histórica, las   ras también tenían propiedades geométricas y la geo-
               estructuras carecerían de integridad. Para que un edifi-  metría era el estudio de formas que eran determinadas
               cio tenga resistencia y estabilidad, debe tener ángulos   por números. Pero más que esto, los pitagóricos desa-
               precisos, longitudes correctas de sus muros y medidas   rrollaron una noción de estética basada en la propor-
               adecuadas para el techo.                           ción. Además, la regularidad geométrica expresaba
               La  estética  arquitectónica o  la  belleza  dependen,  en   belleza y armonía, y esto se aplicaba a la arquitectura
               gran medida, de las matemáticas. Grandes arquitectos   con el uso de la simetría.
               emplearon para sus diseños simetría, formas geométri-  Los arquitectos contemporáneos utilizan  softwares
               cas, fractales y patrones de papel tapiz que se derivan   diseñados  específicamente  para  la arquitectura,  que
               de la matemática.                                  implican el uso de las matemáticas. De esa manera, los
               La primera influencia matemática definida en la arqui-  arquitectos hacen que las habitaciones y los edificios
               tectura es la de Pitágoras. La creencia pitagórica de que   sean diseñados de cierta manera para sus ocupantes”.
               «todas las cosas son números» tenía claramente un     Fuente: Arkiplus. (2023, diciembre 14). Relación de la arquitectura
               gran significado para la arquitectura; así por ejemplo,   con la matemática. https://www.arkiplus.com/relacion-de-la-
                                                                                            arquitectura-con-la-matematica



               98    Matemática
                     9.º EGB





                                                                                                                    22/11/24   14:46
         Matematica 9 EGB Cultiva.indb   98                                                                         22/11/24   14:46
         Matematica 9 EGB Cultiva.indb   98]]></page><page Index="41"><![CDATA[ó


                    1.  ¿Cuál es el tema principal de la lectura?
                       _________________________________________________________________________________________________________
                       _________________________________________________________________________________________________________
                    2.  Según la lectura, ¿desde cuándo se relacionan la matemática y la arquitectura?
                       _________________________________________________________________________________________________________

                       _________________________________________________________________________________________________________
                    3.  ¿Qué otro título le pondrías a este texto?
                       _________________________________________________________________________________________________________
                    4.  ¿Cuál es tu opinión acerca de la relación entre la arquitectura y la matemática?

                       _________________________________________________________________________________________________________
                       _________________________________________________________________________________________________________

                    5.   ¿A qué personaje histórico se refiere la lectura y por qué?
                       _________________________________________________________________________________________________________
                       _________________________________________________________________________________________________________

                    6.   ¿Cómo debe estar construido un edificio para que tenga resistencia y estabilidad?
                       _________________________________________________________________________________________________________
                       _________________________________________________________________________________________________________









                    Actividad personal                                    Presenten su trabajo ante el resto de la clase.
                                                                          Tomen en cuenta las siguientes recomendaciones:
                    1.  Investiga  acerca  de  la  proporción  áurea  o
                       número de oro y su utilización para el diseño      •   Debe haber un organizador gráfico.

                       de construcciones. Estas pueden ser antiguas o     •   Hay que incluir imágenes.
                       modernas.
                                                                          •   Los textos deben ser sintéticos y precisos.
                    2.  Ingresa a Internet y busca imágenes sobre         •   Hay que citar las fuentes de donde se obtuvie-

                       construcciones, edificios, monumentos, puentes,       ron textos e imágenes.
                       etc., que llamen tu atención y que resalten a simple
                       vista un diseño geométrico. Realiza un collage con
                       estas imágenes.
                    3.  Busca más información sobre Pitágoras y otros
                       matemáticos  que, a la vez, fueron grandes                                                      ©Freepick
                       arquitectos.

                    Actividad colaborativa

                    1.  Formen grupos y utilicen las TIC de su preferencia
                       para desarrollar la siguiente tarea: crear una
                       infografía digital que resuma la lectura anterior.



                                                                                                      Matemática   99
                                                                                                          9.º EGB





                                                                                                                    22/11/24   14:46
         Matematica 9 EGB Cultiva.indb   99                                                                         22/11/24   14:46
         Matematica 9 EGB Cultiva.indb   99]]></page><page Index="42"><![CDATA[DUA
                Evaluación sumativa                                                         Acción y expresión




               1.  Suma los siguientes monomios.                   Para resolver las preguntas del 5 al 7  toma en
                                                                   cuenta los polinomios:
                   a)  3x ; –5xy; –8x ; 9xy; 7y 2
                        2
                                  2
                                                                          2
                                                                   P :3 x 4  + x 3  −1
                                                                    1
                                                                   P :6   3 + x4  2  − x
                                                                      − x
                                                                    2
                                                                   P :2 x 2  + x 3  −2
                                                                    3
                                 1          3   2
                   b)  2a ; 6a b; –  a ; –11a b;  a ;  a b
                        3
                            2
                                               3
                                                   2
                                         2
                                   3
                                 2          4   3                  5.  La suma de P1 y P2 es:
                                                                                    4
                                                                                         x
                                                                               4
                                                                      a) 9 x 4  − x 3 + x 2 −−1

                                                                      b)  − x 3 + x 2 −−1
                                                                                4
                                                                                     x
                                                                           6
               2.  Suma los siguientes polinomios.                    c) 3 x 4  − x 3 + x 2  −−1
                                                                                         x
                                                                               4
                                                                                    4

                   a)  2x ; – x + 6; –4x  – 5x + 4                    d) − x 3 + x 2  +−2
                                   2
                        2
                                                                                     x
                                                                           6
                                                                                6

                                                                   6.  La resta de P3 de P2 es:

                                                                      a) − x6  3 + x 2 − x 2
                                                                                2
                                                                                     4

                                                                                        +
               3.  Dados los polinomios
                                                                               2
                                                                                    4
                                                                                       −

                   Px () = 2 x −6 x −7 x +3                           b) 6 x 3 − x 2 + x 2
                                 2
                            3
                                                                               2
                                                                                         3
                                                                                    2
                   Qx () = 4 x +5 x −9                                c)  3 x 4  + x 3 − x 2  − x +1
                            3
                                 2
                   Rx () =−8 x −10 x +11                              d)  3 x 4  − x 2 +1
                                                                               2
                             2
                   Hallar:                                         7.  El polinomio que se obtiene al multiplicar − ax 2
                                                                                                               3

                   a)   Px () + () + ()                               con x 4  − x 2  +1 es:
                                                                               2

                                   Rx
                             Qx
                                                                                       3
                                                                      a) − ax3  4  + ax 3 − ax
                                                                                 6

                                                                                     3
                                                                                6
                                                                      b) − x3  5  + x 4  − x 2

                                                                                6
                                                                      c) 3 ax 5  − ax 4  + ax 2
                                                                                      3


                                                                      d) − ax3  6  + ax  4 − ax 2
                                                                                 6
                                                                                       3

                   b)   Px () + () − ()
                             Qx
                                   Rx
                                                                   8.  El área de la figura es:
                                                                      2 xa
                                                                         −

                                                                                                        xa
                                                                                                         +
               4.  Resuelve la siguiente operación:
                    7x 2  –   xy + 3y 2  + 3
                     x 2        – 8y 2  +                             a) 2 x 2  + axa 2    c)  2  2  + x  3  + axa 2
                                                                               3

                                                                                  −

                         – 4xy +   y 2
                                                                      b) 2 x 2  + axa 2    d) 2  2  + x  + axa 2


                                                                                 −
                          x 2  – 9xy + 4y 2  + 8
               100   Matemática
                     9.º EGB
                                                                                                                    22/11/24   14:46
         Matematica 9 EGB Cultiva.indb   100                                                                        22/11/24   14:46
         Matematica 9 EGB Cultiva.indb   100]]></page><page Index="43"><![CDATA[9.  Relaciona la columna de los productos con      12. El desarrollo del binomio ( y2  −1 )  es:
                                                                                                      5
                      sus desarrollos. Luego,  selecciona la respuesta
                      correcta.                                                 5    4     3     2
                                                                         a) 32   + y  + y 5  y  +10  y  +10  y 5  +1

                      1)  ( x2  −3 )( x2  +  ) 3  a)   4  2  − x  − x 2  6  b) 32 y 5  +  y 4  +80  y 3  + 80  y 2 + 40  10 y  +1

                      2)   ( x2  −  ) 3  2  b)  x 8  3  −36 x 2 +54 x −27  c) 32 y 5 − y  4  +10 y 3 −10 y 2  + y −1
                                                                                   5
                                                                                                    5
                      3)  ( x2  −3 )( x2  +  ) 2  c)  4 x 2  −12 x +9           5     4     3     2

                                           d)  4 x 2  − 9                d) 32 y  −80 y  +80 y  − 40 y  +10 y  −1
                                3
                      4)  ( x2  −  ) 3
                                                                         Coevaluación
                      A)  1d, 2a, 3c, 4b                             13. Trabajen en parejas y  realicen lo siguiente:
                                                                         Relacionen cada división con su cociente. Luego,
                      B)  1c, 2d, 3b, 4a
                                                                         seleccionen la respuesta correcta.
                      C)  1a, 2b. 3d, 4c
                      D)  1d, 2c, 3a, 4b                                 1.  x 3 − y 3
                                                                              xy                 A)  xy
                                                                               −
                                                                                                      −
                                                                             x 2 – y 2
                                                                2
                                                           xy ) ,
                  10. Al simplificar la expresión x 3 )( +  y  2 −       2.    xy                     2       2
                                            ( −
                                                y x 3 ) ( −

                                                                               +
                                                                                                           +
                      se tiene:                                               2   2              b)  x  −xyy
                                                                         3.  x − y
                                                                              xy                 c)  x 2      2
                                                                               −
                      a)  xy −10 y 2    c) −  x 3  2  + 4 xy 10 y 2          x 3 + y 3                 +   +xyy
                                                     −

                              7
                      b)  6 x 2 + xy     d) 6 x 2  −10 y 2               4.    xy                d)  xy

                                                                               +
                                                                                                      +
                  11. Los números que pertenecen a la cuarta fila del
                      triángulo de Pascal son:                           a)  1C;   2A;   3D;   4B
                      a)  1      4      6      4                         b)  1B;   2A;   3D;   4C
                      b)  1      3      3      1                         c)   1C;   2D;   3A;   4B
                      c)  1      2      1                                d)  1B;   2D;   3A;   4C
                      d)  1      5      10     10     5      1
                    Metacognición para aprender a aprender        Responde en forma oral o escrita.

                                                               Contenido
                   ¿Qué pasos mentales sigues en sumas o restas de polinomios?

                   ¿Te aseguraste de combinar términos semejantes de manera adecuada?

                   ¿Qué estrategias utilizaste para la multiplicación de polinomios?, ¿usaste la distribución
                   de manera efectiva?
                   ¿Qué mecanismos empleaste para realizar divisiones de polinomios de manera eficiente?                ©Shutterstock

                   ¿Revisaste tus respuestas al finalizar un problema de operaciones con polinomios?

                    ¿Qué estrategias elegiste para verificar si tu solución fue correcta?



                                                                                                      Matemática  101
                                                                                                          9.º EGB





                                                                                                                    22/11/24   14:46
         Matematica 9 EGB Cultiva.indb   101                                                                        22/11/24   14:46
         Matematica 9 EGB Cultiva.indb   101]]></page><page Index="44"/></pages></Search>
