{ pertenezca a estos cuatro Conjunto de números y se define como: } 0 } − conjuntos a la vez. enteros ℤ.  = { − −−..., 3, 2, 1. Luego, el conjunto de los números enteros está formado por: + − =  ∪ {}∪0  .  = {..., −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3,... }. Comunicacional Conjunto de números ⎧ a ⎫ racionales ℚ. Se define como: ! = ⎨ b / a, b ∈ " con b ≠ 0 ⎬ . ⎭ ⎩ ⊂: subconjunto ∪: unión En forma conjuntista, se define como el conjunto de /: tal que Conjunto de números números reales menos el conjunto de números \: diferencia irracionales '. racionales. ℝ \ ℚ. ∈: pertenece a ∙: no es igual a ≈: aproximado a Conjunto de números Se define en forma de conjunto como: ¿Cómo escribirías el reales ℝ. ∪ '. = símbolo no pertenece a...? 14 Matemática 10.º EGB 22/11/24 16:58 Matematica 10 EGB Cultiva.indb 14 22/11/24 16:58 Matematica 10 EGB Cultiva.indb 14]]> n” si y solo si “n < m”, o sea m – n ∈ ℝ. indeterminada? Ejemplo. 12 > 6, si y solo si al realizar 12 – 6, el resultado, en este caso 6, pertenece a los números reales. Matemática 15 10.º EGB 22/11/24 16:58 Matematica 10 EGB Cultiva.indb 15 22/11/24 16:58 Matematica 10 EGB Cultiva.indb 15]]>, <, ≥ y ≤. estamos sujetos a las mismas leyes. Ecuaciones de primer grado ¿En qué circunstancias consideras que una persona En un salón de clases, la cuarta parte son niñas y los niños exceden a la mitad en tres. no es tratada con igualdad? ¿Cuántos estudiantes tiene el salón de clases? Traducimos del lenguaje cotidiano al lenguaje matemático: la variable x representa Matemática el número de estudiantes en el salón de clases. x x La propiedad del inverso La cuarta parte: —. La mitad excedida en 3: — + 3. multiplicativo consiste en 4 2 x multiplicar cada miembro Entonces, la ecuación buscada es: + x +3 = x. de la ecuación por el 4 2 mismo número, pero invertido. Por ejemplo, en 2x = 4 multiplicamos Definición de ecuación lineal. Es una expresión de la forma ax + b = c, donde a, por el inverso b y c son números reales con a ≠ 0 y el grado de la incógnita x es 1. multiplicativo queda: Resolverla significa encontrar el valor de la variable que satisface la igualdad. 1 2x = 4 1 2 2 x = 2 A continuación, resolveremos la ecuación planteada anteriormente. ¿Por qué número debes x + 2x + 12 Primero destruimos el paréntesis y sumamos las fracciones multiplicar a la ecuación 4 = x de la izquierda. x 3 = 2 Eliminamos el denominador, aplicando la propiedad del para despejar x? x + 2x + 12 = 4x inverso multiplicativo. Transponemos los términos agrupando las variables en la x + 2x – 4x = –12 Comunicacional izquierda, y las constantes (números) en la derecha. –x = –12 Reducimos términos semejantes y despejamos x El símbolo ∞ significa x = 12 multiplicando a la ecuación por –1. infinito, es decir, no tiene fin. Respondemos: el salón de clases tiene 12 estudiantes. +∞: significa más infinito. –∞: significa menos infinito. Propiedades de las ecuaciones Digital Propiedad Enunciado Una igualdad no cambia si se le suma o se le resta un Ingresa al siguiente enlace Si a = b, entonces a ± c = b ± c. mismo número a cada miembro. web: lynk.ec/10mt04 Una igualdad se mantiene si se multiplica o divide por imprime la página 90 para Si a = b y c ≠ 0, entonces ac = bc. un mismo número distinto de cero en cada miembro. resolver ecuaciones. 34 Matemática 10.º EGB 22/11/24 16:59 Matematica 10 EGB Cultiva.indb 34 22/11/24 16:59 Matematica 10 EGB Cultiva.indb 34]]> b a − b es positiva a ≥ b a > b o a = b a < b a − b es negativa a ≤ b a < b o a = b Una inecuación es una desigualdad de dos Propiedades de las desigualdades cantidades, tal que la una es mayor que la otra. Los símbolos <, >, ≥ y ≤ se Propiedad Expresión algebraica Ejemplos denominan signos de la desigualdad. Una desigualdad no cambia 8 < 10; 8 + 4 <10 + 4; de sentido si se suma o se Si a < b, entonces, 12 < 14 Ley de tricotomía resta un mismo número a cada a ± c < b ± c. 1 > –7; 1 – 5 > –7 – 5; Sean a, b ∈ ℝ , se cumple miembro. –4 > –12 solo una de las siguientes relaciones: Una desigualdad no cambia de Si a < b y c es un número 3 < 7; 3(2) < 7(2); a > b o a = b o a < b sentido si se multiplican o se positivo, entonces, 6 < 14 dividen sus dos miembros por ac< bc. 4 > –2, 4(5) > –2(5); Comprueba la ley de un mismo número positivo. c > 0 20 > –10 tricotomía con un par de números. Una desigualdad cambia de Si a < b y c es un número –5 < 2, –5(–3) > 2(–3), sentido cuando se multiplican negativo, entonces, 15 > –6 o se dividen sus dos miembros ac > bc. 8 > 3, 8(–10) < 3(–10), por un número negativo. c < 0 –80 < –30 Tipos de intervalos Intervalo Interpretación Notación Conjunto Representación gráfica No incluye los Abierto (a, b) o ]a, b[ {x ∈ ℝ / a < x < b} –∞ a b ∞ extremos a y b. Sí incluye los extremos Cerrado [a, b] {x ∈ ℝ / a ≤ x ≤ b} a b a y b. –∞ ∞ Semiabierto por No incluye el extremo (a, b] o ]a, b] la izquierda izquierdo a. {x ∈ ℝ / a < x ≤ b} –∞ a b ∞ Semiabierto por No incluye el extremo [a, b) o [a, b[ la derecha derecho b. {x ∈ ℝ / a ≤ x < b} –∞ a b ∞ Abierto a la No incluye el extremo izquierda y tiende izquierdo y tiende a (a, +∞) o ]a, +∞[ {x ∈ ℝ / x > a} –∞ a b ∞ a más infinito +∞. Tiende a menos No incluye el extremo infinito y abierto derecho y tiende a –∞. (–∞, a) o ]–∞, a[ {x ∈ ℝ / x < a} –∞ a b ∞ a la derecha Cerrado a la Sí incluye el extremo izquierda y tiende izquierdo y tiende a [a, +∞) o [a, +∞[ {x ∈ ℝ / x ≥ a} –∞ a b ∞ a más infinito. +∞. Tiende a menos Sí incluye el extremo infinito y cerrado derecho y tiende a –∞. (–∞, a] o ]–∞, a] {x ∈ ℝ / x ≤ a} –∞ a b ∞ a la derecha. Matemática 35 10.º EGB 22/11/24 16:59 Matematica 10 EGB Cultiva.indb 35 22/11/24 16:59 Matematica 10 EGB Cultiva.indb 35]]> b y b > c, entonces a < c. ( _____ ) 3. Escribe la igualdad o desigualdad para cada 5. Resuelve las siguientes inecuaciones lineales. enunciado. a) Veinticuatro es mayor o igual que un número. a) 2x – 3 < 3x – 6 _____________________________________________ 2 b) 7x + > 8 – 1 x b) La cuarta parte de un número aumentado en 3 4 cinco es igual a 30. c) –3x ≤ 3 – x ≤ 5x + 2 _____________________________________________ 6. Expresa el intervalo como una desigualdad en la c) Un número es mayor o igual a –2 y menor que 7. variable x. _____________________________________________ a) (–5, 8) ___________________________________ d) Seis veces un número disminuido en 3 es igual b) (–∞, 3] ___________________________________ a 56. c) [4, ∞) ___________________________________ _____________________________________________ d) [–7, 12] ___________________________________ 36 Matemática 10.º EGB 22/11/24 16:59 Matematica 10 EGB Cultiva.indb 36 22/11/24 16:59 Matematica 10 EGB Cultiva.indb 36]]> – x – 1 ≥ _____________________________________________ 1 2 e) 3x + 0,6 < 1,2x – 1 < x + 3,4 f) 2 + x + 3 < x + 2 ≤ 5(x – 4) g) 4 2 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 g) 2x – 5 > 3x + 2 _____________________________________________ Indaguemos 10. Indaga y escribe en tu cuaderno. Las inecuaciones lineales se utilizan en la vida diaria en h) diferentes situaciones, como por ejemplo en las –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 señales de tránsito que indican el límite de velocidad, _____________________________________________ ¿en qué otra situación se emplean? Matemática 37 10.º EGB 22/11/24 16:59 Matematica 10 EGB Cultiva.indb 37 Matematica 10 EGB Cultiva.indb 37 22/11/24 16:59]]>